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| Aufgabe | | Integration über den komplexen Einheitskreis |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Hallo miteinander,
ich halte demnächst einen Vortrag und hätte diesbezüglich mal eine kleine Frage.
Stimmt die folgende Gleichung?
[mm] \integral_{|z|=1}{f(z) \bruch{dz}{z}}=-\integral_{|z|=1}{f(z) \bruch{\overline{dz}}{\overline{z}}}
[/mm]
Dabei seien keine Beschränkungen an die Funktion f: [mm] \IC\to\IC [/mm] gestellt, d.h. f sei beliebig oft stetig differenzierbar.
Ich hab mir zwar schon meine Gedanken dazu gemacht, komme aber auf keinen Beweis (welcher mir allerdings auch nicht so wichtig ist, da ich bloß wissen möchte, ob die obige Gleichung stimmt).
Hier meine Überlegungen:
Auf "Physikerweise" betrachtet ist das Skalarprodukt [mm] \overline{(\bruch{1}{z})} \cdot d\overline{z} [/mm] gleich dem Skalarprodukt [mm] \bruch{1}{z} \cdot [/mm] dz (betrachtet man dz als Vektor der Änderung von z).
Ich integriere die Funktion ja dann immernoch auf demselben Bereich, bloß, dass die Umlaufrichtung sich ändert. Und wenn mich nicht alles täuscht, hatten wir in der komplexen Analysis mal gesagt, dass sich dann das Vorzeichen umdreht. Mir ist aber klar, dass die Tatsache, dass ich über den Einheitskreis integriere noch eine große Rolle dabei spielt, weiß leider aber nicht genau welche...
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Wie gesagt, ich erwarte keinen ausführlichen Beweis, sondern möchte nur wissen, ob das richtig ist.
Vielen, vielen dank schonmal im Voraus...
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Für [mm]z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}[/mm] folgt:
[mm]\frac{\mathrm{d}z}{z} = \frac{\operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \, \mathrm{d}t}{ \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}} = \operatorname{i} \, \mathrm{d}t[/mm]
[mm]- \frac{\overline{\mathrm{d}z}}{\overline{z}} = - \overline{\left(\frac{\mathrm{d}z}{z} \right)} = - \overline{\operatorname{i}} \ \mathrm{d}t = \operatorname{i} \, \mathrm{d}t[/mm]
Wenn also für eine Parameterdarstellung [mm]\varphi(t)[/mm] der Ausdruck [mm]\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}[/mm] rein imaginär ist, klappt die Umformung.
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