Konjugiert Komplexe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 08.09.2008 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Beweise die folgenden Rechenregeln für Konjugierte:
[mm] a)\overline{\overline{z}}=z
[/mm]
[mm] b)\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm \overline{w}
[/mm]
[mm] c)\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}
[/mm]
[mm] d)z+\overline{z}=2\cdot [/mm] Re(z)
[mm] e)z-\overline{z}=2i\cdot [/mm] Im(z)
[mm] f)z\cdot \overline{z}=Re^{2}(z)+Im^{2}(z)=|z|^{2}
[/mm]
[mm] g)\overline{z}=z\gdw [/mm] z rein reell
[mm] h)\overline{z}= [/mm] -z [mm] \gdw [/mm] z rein imaginär |
Ich habe keine Ahnung wie ich diese Rechenregeln "beweisen" soll....
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Stur die Definition benutzen.
Wie habt ihr denn die Konjugation definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 08.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi Merle23,
konjugiert komplex ist wenn man mit dem gleichen Realteil aber dem negativen Imaginärteil multipliziert.
Ich sehe aber nicht wie mir das beim Beweisen weiterhelfen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo kushkush,
die konjugiert Komplexe einer komplexen Zahl wird zwar gerne im Zusammenhang mit der Multiplikation benutzt, da man dadurch eine reelle Größe bekommt, aber generell unterscheidet sich die konjugiert komplexe Zahl durch das gegenüber der komplexen Zahl umgedrehte Vorzeichen des Imaginärteils.
Füz [mm] z=a + jb [/mm] ist also die konjugiert Komplexe [mm] \overline{z} = a - jb [/mm]. Setze das in Deine Gleichungen ein und Du kannst im direkten Beweis die Behauptungen nachweisen.
Viel erfolg,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 08.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi und dankeschön Infinit,
würde bei a) jetzt zbsp. z(mit einem gleich obendrauf) = z = [mm] (a-bi)^2 [/mm] also stimmen?
Ich bin mir noch unsicher wo ich was einsetzen soll...
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Hallo kushkush,
denke nicht zu kompliziert 
Nimm dir ne komplexe Zahl $z=a+bi$ her
Dann sollst du zeigen, dass [mm] $\overline{\overline{z}}=z$ [/mm] ist
Setze einfach $z=a+bi$ ein:
[mm] $\overline{\overline{z}}=\overline{\red{\overline{a+bi}}}=\overline{\red{a-bi}}=a+bi=z$
[/mm]
Also nicht kompliziert, sondern gerade heraus
Zuerst das eine "quer" abarbeiten, dann das andere
Die anderen sind ähnlich gerade heraus, denke bei den letzten beiden daran, dass du jeweils zwei Richtungen zeigen musst!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 09.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi schachuzipus und danke vielmals für deinen Input,
b) a-bi [mm] \PM [/mm] c-di = [mm] a-bi\pm [/mm] c+di
c) [mm] (a+bi)(c+di)=ac+bic+adi+dbi^{2}= [/mm] ac+bic+adi-db [mm] =\overline{ ac-bd+bci+adi}= [/mm] ac-bd-bci-adi
[mm] (a-bi)(c-di)=ac-bci-adi+bi^{2}=ac-bci-adi-bd=ac-bd-bci-adi
[/mm]
d)a+bi+a-bi=2a
e)a+bi-(a-bi)=2bi=2i*b
[mm] f)(a+bi)(a-bi)=re^{2}(a)+Im^{2}(b)=??
[/mm]
g)a-bi=a+bi ???
h) a-bi=-(a+bi)=-a-bi (??)
leider sind mir die 2.te und die 3 letzten noch relativ unklar...
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Hallo nochmal,
das ist ja ganz furchtbar aufgeschrieben
Versuche doch bitte, möglichst strukturiert aufzuschreiben.
Das erleichtert sowohl dir als auch uns und - noch wichtiger - demjenigen, der das an der Uni oder in der Schule oder wo auch immer korrigieren muss, das Leben ungemein
Also, ich versuch's mal:
> Hi schachuzipus und danke vielmals für deinen Input,
>
> b) a-bi [mm]\pm[/mm] c-di = [mm]a-bi\pm[/mm] c+di
Hmm, was genau ist hier los?
Berechne es doch eins nach dem anderen, fange mit [mm] "\blue{+}" [/mm] an.
Es ist für $z=a+bi, w=c+di$:
[mm] $\overline{z\blue{+}w}=\overline{(a+bi)\blue{+}(c+di)}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)\blue{+}(c-di)=\overline{z}\blue{+}\overline{w}$
[/mm]
ebenso mit [mm] "\red{-}"
[/mm]
> c) [mm](a+bi)(c+di)=ac+bic+adi+dbi^{2}=[/mm] ac+bic+adi-db ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das ist also [mm] $z\cdot{}w$
[/mm]
> [mm]=\overline{ ac-bd+bci+adi}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wieso sollte das "=" gelten? es ist doch im Allg. [mm] $u\neq\overline{u}$
[/mm]
Mache mit ner Trennung weiter, sortiere das berechnete [mm] $z\cdot{}w$ [/mm] nach Real- und Imaginärteil.
Dann setze neu an mit [mm] $\overline{z\cdot{}w}$ [/mm] und vergleiche mit [mm] $\overline{z}\cdot{}\overline{w}$
[/mm]
> = ac-bd-bci-adi
>
> [mm](a-bi)(c-di)=ac-bci-adi+bi^{2}=ac-bci-adi-bd=ac-bd-bci-adi[/mm]
>
> [mm] d)\red{z+\overline{z}=}a+bi+a-bi=2a\red{=2Re(z)} [/mm]
spartanisch, aber
> e)a+bi-(a-bi)=2bi=2i*b
, aber wie oben: bissl "einpacken", das Ganze
> [mm]f)(a+bi)(a-bi)=re^{2}(a)+Im^{2}(b)=??[/mm]
einfach weiter ausrechnen: [mm] $z\cdot{}\overline{z}=(a+bi)\cdot{}(a-bi)=a^2-abi+bai-bibi=\red{a}^2+\blue{b}^2=\red{Re(z)}^2+\blue{Im(z)}^2$
[/mm]
Dann berechne nochmal [mm] $|z|^2$. [/mm] Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert? --> nachschauen!
> g)a-bi=a+bi ???
Das ist die Vor. für die Richtung [mm] $[\Rightarrow]$
[/mm]
Tipp: Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind eindeutig, dh. [mm] $w=x_1+iy_1$ [/mm] und [mm] $w=x_2+iy_2\Rightarrow x_1=x_2$ [/mm] und [mm] $y_1=y_2$, [/mm] also ...
Die Richtung [mm] $[\Leftarrow]$ [/mm] ist easy, einfach hinschreiben ...
> h) a-bi=-(a+bi)=-a-bi (??)
wie oben: Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind eindeutig
>
> leider sind mir die 2.te und die 3 letzten noch relativ
> unklar...
>
Jetzt schreibe das mal alles ein wenig sauberer und übersichtlicher auf...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 09.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hi schachuzipus und danke für deinen Input,
Hier das Ganze einmal etwas sauberer:
a)$ [mm] \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+bi}}=\overline{a-bi}=a+bi=z $\\
[/mm]
[mm] b)$\overline{z+w}=\overline{(a+bi)\pm(c+di)}=\overline{(a+c)\pm(b+d)i}=(a+c)\pm(b+d)i=(a-bi)\pm(c-di)=\overline{z}\pm\overline{w}\\$
[/mm]
[mm] c)$(z\cdot w)=((a+bi)(c+di))=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+adi+bci; \overline{ac-bd+adi+bci}=ac-bd-adi-bci=(a-bi)(c-di)=ac-bci-adi-bd$\\
[/mm]
[mm] d)$z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a=2Re(z)$
[/mm]
[mm] e)$z-\overline{z}=a+bi-(a-bi)=2bi=2i\cdot b=2i\cdot [/mm] Im(z)$
[mm] f)$z\cdot \overline{z}=(a+bi)\cdot(a-bi)=a^2-abi+bai-bibi=a^2+b^2=Re(z)^2+Im(z)^2=\sqrt[2]{Re(z)^2+Im(z)}^2=|z|^2$
[/mm]
bei den beiden letzten weiss ich überhaupt nicht was du meinst, da ich weder den einen noch den anderen pfeil je angetroffen habe...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Naja, du sollst ja eine Äquivalenz ([mm]\Leftrightarrow[/mm]) zeigen, also wenn [mm]A\Leftrightarrow B[/mm] ist, gilt insbesondere ([mm]A\Rightarrow B[/mm] und [mm]B\Rightarrow A[/mm]) und umgekehrt. Wenn du also die Äquivalenz [mm]\overline{z}=z\Leftrightarrow z[/mm] rein reell zeigen willst, machst du das normalerweise ausführlich, indem du zeigst:
[mm]\overline{z}=z\Rightarrow z[/mm] rein reell sowie z rein reell[mm]\Rightarrow\overline{z}=z[/mm].
Seine zwei Pfeile signalisieren einfach nur, an welcher Richtung man gerade arbeitet, also an [mm]A\Rightarrow B[/mm] oder [mm]A\Leftarrow B[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mi 10.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Danke Loddar für die Nachnachkorrekturen, Danke an ArthurDayne für den Input,
allerdings blicke ich bei den letzten beiden immer noch nicht durch....bei weiteren Rat wäre ich äusserst dankbar.
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Hallo kushkush,
na gut, dann gehen wir mal die Aufgabe g) durch:
Du sollst beweisen: [mm]\overline{z}=z\Leftrightarrow[/mm] z rein reell.
Dazu zeigen wir zuerst die (einfache) Richtung "[mm]\Leftarrow[/mm]", d.h. wir beweisen: z rein reell[mm]\Rightarrow\overline{z}=z[/mm].
Sei also z rein reell, d.h. suggestiv geschrieben: [mm]z=a+0\cdot i,a\in\mathbb{R}\Rightarrow\overline{z}=a-0\cdot i=a=z[/mm]. Damit ist die eine Richtung schon gezeigt.
Jetzt fehlt uns noch der zweite "Pfeil", das ist ein bisschen komplizierter:
Diesmal wissen wir nur, dass [mm]z=\overline{z}[/mm] gilt, also mit [mm]z=a+bi[/mm] folgt [mm]\overline{z}=a-bi=a+bi=z[/mm]. Wenn du jetzt auf beiden Seiten a subtrahierst, erhältst du [mm]-bi=bi[/mm], also [mm]2bi=0[/mm], daraus ergibt sich dann [mm]b=0[/mm]. Das wiederum heißt z=a+0*i=a[mm]\in\mathbb{R}[/mm].
Den Fall f) solltest du jetzt aber alleine schaffen 
Edit: Sorry, ich vermute mal, das liegt am Forum, gestern hat es, so wie ich das getippt habe, noch funktioniert :-/ Ich bin auch überfragt, woran es liegt, dass manche angezeigt werden, manche in ihrem Quellcode, evtl. kann da ja ein Moderator was dran ändern!?
Gruß
Johannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 10.09.2008 | | Autor: | kushkush |
Hallo Johannes und danke sehr,
bei g habe ich folgendes nun : g)z rein reell [mm] \rightarrow \overline{z}=z [/mm] ; [mm] z=a+0\cdot i,a\in\mathbb{R}\Rightarrow\overline{z}=a-0\cdot [/mm] i=a=z; [mm] \overline{z}=a-bi=a+bi=z=; bi=-bi=2bi=0=z=a+0\cdot [/mm] i=a [mm] \in \mathbb{R} [/mm]
und bei h) h)z rein imaginaer [mm] \rightarrow \overline{z}=-z;-z=0\cdot [/mm] a-bi; [mm] b\in\mathbb{C}\rightarrow \overline{z}=0\cdot [/mm] a -bi = [mm] a=-a=2a=0=z=0\cdot a+bi=b\in \mathbb{C}
[/mm]
danke und ich hoffe das ist einigermassen korrekt :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo kushkush,
das ist wieder wie Kraut und Rüben aufgeschrieben.
Ich hatte es ja schon einmal gesagt: versuche, alles etwas sauberer aufzuschreiben, dann kann man es besser lesen, weiß schneller, was du meinst und kann schneller helfen
> Hallo Johannes und danke sehr,
>
>
> bei g habe ich folgendes nun : g) (1.) zu zeigen: $z$ rein reell $\Rightarrow \overline{z}=z$
> Sei z rein reell, also $z=a+0\cdot i\red{=a}$ ,mit $a\in\mathbb{R}\Rightarrow\overline{z}=a-0\cdot i\red{=a}$
Also $z=a=\overline{z}$
> i=a=z; Das kapiere ich nicht?! Was meinst du hier?
(2.) zu zeigen: $\red{z=\overline{z}\Rightarrow z}$ rein reell:
Sei $\overline{z}=a-bi=a+bi=z \red{\Rightarrow} bi=-bi \red{\Rightarrow}2bi=0 \red{\Rightarrow}z=a+0\cdot i=a\in \mathbb{R}$
Ja, das ist schon besser aufgeschrieben, allerdings sind deine "=" oftmals als Folgerungspfeile zu verstehen, also auch hier: Saubär aufschreiben
>
>
>
> und bei h) h) (1.) zu zeigen: z rein imaginaer $\Rightarrow \overline{z}=-z$
Sei z rein imaginär, also $z=0\cdot a\red{+}bi$ mit $b\in\red{\mathbb{R}} !!!! \Rightarrow \overline{z}=0\cdot a-bi=\red{-bi}$ und $\red{-z=-(0\cdot{}a+bi)=-bi}$
$\red{\Rightarrow \overline{z}=-z}}$
Nun schreibe aber du mal die "Rückrichtung", also den Beweis für die Aussage $\overline{z}=-z\Rightarrow z$ rein imaginär ganz sauber auf
> danke und ich hoffe das ist einigermassen korrekt :)
Gruß
schachuzipus
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Hi,
da ist glaub ich noch ein kleiner Tippfehler drin in Teil h):
Es sollte wohl statt [mm] $\red{-z=-(0\cdot{}bi)=-bi}$ [/mm] eher [mm] $\red{-z=-(0\cdot a+bi)=-bi}$ [/mm] heißen.
Gruß
Johannes
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Hallo Johannes,
ja stimmt natürlich Ich werde es mal schnell verbessern
Leider wurden gestern abend die Formeln nicht angezeigt, und im Quellcode hab ich's übersehen.
Danke für's Aufpassen
LG
schachuzipus
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