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Hallo!
Ein Ausschnitt aus einer Aufgabe unseres aktuellen Übungszettels:
Sei G Gruppe, und sei [mm]C(a) := \{\gamma a \gamma^{-1}\; |\; \gamma \in G\}[/mm] (Konjugiertheitsklasse von a). Man zeige, dass bei einer endlichen Gruppe G die Anzahl der Elemente von C(a) ein Teiler von ord G ist.
(Hinweis: Sei [mm]Z(a) := \{b \in G \; | \; bab^{-1} = a \}[/mm]. Man zeige, dass $Z(a)$ eine Untergruppe von G ist mit [mm]| C(a) | = \left[ G : Z(a) \right] [/mm].)
Ich habe bereits gezeigt, dass Z(a) Untergruppe von G ist, und mir ist auch klar, dass ich eigentlich schon fertig bin, wenn ich auch noch den letzten Teil aus dem Hinweis zeigen kann -- die Behauptung folgt dann aus dem Satz von Lagrange ([mm]\operatorname{ord} G = \operatorname{ord} H * \operatorname{ind}_{G} H[/mm]). Allerdings bin ich ziemlich ratlos, wie ich das nun zeigen könnte.
Jede Art von Hinweis ist willkommen.
Danke,
- Marcel
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 23.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Marcel!
Wir definieren uns folgende Äquivalenzrelation auf $G$:
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad [/mm] : [mm] \Leftrightarrow \quad xax^{-1} [/mm] = [mm] yay^{-1}$.
[/mm]
Dann gilt wegen
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad y^{-1}xax^{-1}y [/mm] =a [mm] \quad \Leftrightarrow \quad y^{-1}x \in [/mm] Z(a)$
gerade:
[mm] $\vert G/\sim\vert [/mm] = [G:Z(a)]$,
und damit
$|C(a)| = [mm] \vert G/\sim\vert [/mm] = [G:Z(a)]$.
Liebe Grüße
Julius
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