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Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Di 29.03.2016
Autor: Reynir

Aufgabe
Sei [mm] $H=\{ z\in \mathbb {C} |Im(z) >0\} [/mm] $ und [mm] $f:\overline{H} \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ stetig, reellwertig für
[mm] $\{ z \in \mathbb{C}|Im(z)=0\}$, [/mm] holomorph in H und beschränkt. Dann ist f konstant. Wahr oder Falsch?

Hallo,
ich nehme an, hier muss man irgendwie das Maximumsprinzip verwenden, ich sehe aber leider nicht ganz, wie man das hier tun soll, hättet ihr da einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Di 29.03.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]H=\{ z\in \mathbb {C} |Im(z) >0\}[/mm] und [mm]f:\overline{H} \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> stetig, reellwertig für
> [mm]\{ z \in \mathbb{C}|Im(z)=0\}[/mm], holomorph in H und
> beschränkt. Dann ist f konstant. Wahr oder Falsch?
>  Hallo,
>  ich nehme an, hier muss man irgendwie das Maximumsprinzip
> verwenden, ich sehe aber leider nicht ganz, wie man das
> hier tun soll, hättet ihr da einen Tipp?

Ja,

Setze

[mm] g(z):=\begin{cases} f(z), & \mbox{für } z \in \overline{H} \\ \overline{f(\overline{z})}, & \mbox{für } z \in \IC, Im(z)<0 \end{cases} [/mm]

Zeige : g ist auf [mm] \IC [/mm] holomorph.

Tipp dazu: Schwarzsches Spiegelungsprinzip. Vielleicht hattet Ihr das aber auch ?

g ist also eine ganze Funktion. Denke nun an den Herrn Liouville !

FRED

>  Viele Grüße,
>  Reynir


Bezug
                
Bezug
Konstante Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:15 Sa 02.04.2016
Autor: Reynir

Hi,
danke für den Tipp.

Bezug
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