Konstante Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 29.03.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | Sei [mm] $H=\{ z\in \mathbb {C} |Im(z) >0\} [/mm] $ und [mm] $f:\overline{H} \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ stetig, reellwertig für
[mm] $\{ z \in \mathbb{C}|Im(z)=0\}$, [/mm] holomorph in H und beschränkt. Dann ist f konstant. Wahr oder Falsch? |
Hallo,
ich nehme an, hier muss man irgendwie das Maximumsprinzip verwenden, ich sehe aber leider nicht ganz, wie man das hier tun soll, hättet ihr da einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]H=\{ z\in \mathbb {C} |Im(z) >0\}[/mm] und [mm]f:\overline{H} \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> stetig, reellwertig für
> [mm]\{ z \in \mathbb{C}|Im(z)=0\}[/mm], holomorph in H und
> beschränkt. Dann ist f konstant. Wahr oder Falsch?
> Hallo,
> ich nehme an, hier muss man irgendwie das Maximumsprinzip
> verwenden, ich sehe aber leider nicht ganz, wie man das
> hier tun soll, hättet ihr da einen Tipp?
Ja,
Setze
[mm] g(z):=\begin{cases} f(z), & \mbox{für } z \in \overline{H} \\ \overline{f(\overline{z})}, & \mbox{für } z \in \IC, Im(z)<0 \end{cases}
[/mm]
Zeige : g ist auf [mm] \IC [/mm] holomorph.
Tipp dazu: Schwarzsches Spiegelungsprinzip. Vielleicht hattet Ihr das aber auch ?
g ist also eine ganze Funktion. Denke nun an den Herrn Liouville !
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Sa 02.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
danke für den Tipp.
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