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| Aufgabe | Sei f ganz. Zeigen Sie, dass f konstant ist, falls eine der folgenden Bedingungen auf [mm] \IC [/mm] erfüllt ist.
a) [mm] |f|\ge1
[/mm]
b) Re f [mm] \le [/mm] 0
c) Re f hat keine Nullstelle |
Hallo!
Ich habe mich mit dieser Aufgabe schon mehrere Stunden beschäftigt, weiß aber nicht so recht wie ich das zeigen kann.
Als Ansätze habe ich bisher:
a) Betrachte 1/f
Da das Bild von f kleiner als 1 ist, ist 1 also die untere Schranke.
Daraus folgt, dass f beschränkt ist und da f nach voraussetzung auch noch ganz ist gilt nach Liouville, f Konstant
b) Betrachte [mm] e^{f}
[/mm]
[mm] |e^{f}| [/mm] = [mm] e^{Ref}* |e^{i Imf}| [/mm] = [mm] e^{Ref} [/mm] * 1 = [mm] e^{Ref} [/mm] und da Ref beschränkt folgt, dass f beschränkt und somit da f ganz konstant.
c) da f ganz, lässt sich f als polynom darstellen, Ref lässt sich als Polynom darstellen, da Ref ganz => Ref konstant => Aus Beipsiel in der Vorlesung, wenn Ref =const => f=const
Ich bitte um Korrektur, Hilfen, oder neue Lösungen oder Ansätze
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 19.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f ganz. Zeigen Sie, dass f konstant ist, falls eine der
> folgenden Bedingungen auf [mm]\IC[/mm] erfüllt ist.
> a) [mm]|f|\ge1[/mm]
> b) Re f [mm]\le[/mm] 0
> c) Re f hat keine Nullstelle
> Hallo!
> Ich habe mich mit dieser Aufgabe schon mehrere Stunden
> beschäftigt, weiß aber nicht so recht wie ich das zeigen
> kann.
> Als Ansätze habe ich bisher:
> a) Betrachte 1/f
> Da das Bild von f kleiner als 1 ist, ist 1 also die untere
> Schranke.
> Daraus folgt, dass f beschränkt ist und da f nach
> voraussetzung auch noch ganz ist gilt nach Liouville, f
> Konstant
Das stimmt schon, das kann man aber auch etwas sauberer aufschreiben.
> b) Betrachte [mm]e^{f}[/mm]
> [mm]|e^{f}|[/mm] = [mm]e^{Ref}* |e^{i Imf}|[/mm] = [mm]e^{Ref}[/mm] * 1 = [mm]e^{Ref}[/mm]
> und da Ref beschränkt folgt, dass f beschränkt und somit da
> f ganz konstant.
Aeh. [mm] $\Re [/mm] f$ ist nicht beschraenkt! Aber [mm] $e^f$ [/mm] ist beschraenkt, ganz, und damit konstant. Daraus folgt jetzt etwas ueber $f$ (beachte: $f$ stetig).
> c) da f ganz, lässt sich f als polynom darstellen,
Das ist Quark. Die Exponentialfunktion ist z.B. ganz und kein Polynom!
> Ref
> lässt sich als Polynom darstellen, da Ref ganz => Ref
Der Realteil einer ganzen Funktion ist niemals ganz, es sei denn er ist konstant!
Beachte doch mal, dass [mm] $\Re [/mm] f$ stetig ist. Da [mm] $\Re [/mm] f$ keine Nullstelle hat, gilt somit entweder [mm] $\Re [/mm] f < 0$ oder [mm] $\Re [/mm] f > 0$. Im ersten Fall benutzt du (b) direkt, im zweiten Fall benutzt du (b) mit $-f$ anstelle von $f$ (da [mm] $\Re(-f) [/mm] = [mm] -\Re [/mm] f$ gilt).
LG Felix
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Vielen Dank!
Hat mir für Aufgabenteil a und c gut weitergehlfen.
Bei Teil b) fehlt mir immer noch iwie die Lösung mit Idee!
Wie finde ich zu der Lösung?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mi 20.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank!
> Hat mir für Aufgabenteil a und c gut weitergehlfen.
> Bei Teil b) fehlt mir immer noch iwie die Lösung mit
> Idee!
Was genau hast du denn an dem, was ich geschrieben hab zu deinem Ansatz, nicht verstanden? Da steht doch im Prinzip schon die Loesung.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Fr 22.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
Wir wissen [mm] schon:$e^f$ [/mm] ist konstant. Also ex. ein $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $e^f [/mm] = [mm] e^a$ [/mm] auf [mm] \IC
[/mm]
Damit ex. zu jedem $z [mm] \in \IC$ [/mm] ein $k(z) [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$f(z) = a +2k(z) [mm] \pi [/mm] i$
Da f stetig ist, ist auch die Abb. $z [mm] \to [/mm] k(z)$ stetig, also muß sie konstant sein. Damit ist auch f konstant.
FRED
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