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| Aufgabe | Ist es theoretisch *) möglich, mit Zirkel und Lineal
a) die Länge jeder rationalen Zahl
b) die Länge der Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl
zu konstruieren, wenn die Länge der Einheit (eine Strecke mit der Länge Eins) vorgegeben ist?
theoretisch *): es steht ein unendlich großes Blatt Papier und unendlich viel Zeit zur Verfügung
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zu a) habe ich eine Lösung gefunden:
Ein Koordinatensystem kann man leicht konstruieren. Die Endpunkte der gegebenen Strecke mit der Länge Eins seien U (Ursprung) und E (0|1). Auf der Geraden durch diese beiden Punkte kann man im Abstand von jeweils Eins jeden weiteren Punkt für die Ganzen Zahlen finden. Das ist dann die xAchse
Die Senkrechte in U (y-Achse) kann man ebenfalls mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Maß-Einheiten eintragen. So lässt sich jede Koordinate bestimmen (Schnittpunkt der Senkrechten).
Wie finde ich nun [mm] a=\bruch{z}{n} [/mm] (Zaehler/Nenner)? Ich bestimme den Punkt P(n|z). Dann zeichne ich die Senkrechte auf x=1.
Die Gerade durch P und U schneidet diese Senkrechte im Punkt A(1|a).
Auf diese Weise lässt sich die Länge jeder rationalen Zahl konstruieren.
zu b):
Da komme ich nicht weiter.
Der Pythagoras geht nur für ganz wenige Zahlen z.B. 10 [mm] (3^{2}+1^{2}=\wurzel{10}^{2})
[/mm]
Aber wie ist es mit 11?
Geht das eventuell über die Fläche? Man kann ja ein Rechteck mit den Maßen 11*1 konstruieren.
Und nun ist ein Quadrat gesucht dass genau die gleiche Fläche hat, wie dieses Rechteck.
Ich weiß aber nicht, ob das geht. Kathetensatz, Höhensatz? Kann man damit aus einem Rechteck ein Quadrat mit gleicher Fläche konstruieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mo 28.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ich bin sicher, dass das geht. mithilfe von scherung, höhensatz (ggf. kathetensatz).
habe das thema im moment gerade wieder verdrängt, aber soweit ich mich erinnere, bekommen meine schüler solche aufgaben...
z.b. aus einem rechteck ein flächeninhaltsgleiches quadrat zu konstruieren usw.
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mo 28.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe Aufgabe b) jetzt raus gekriegt:
Es geht mit dem Höhensatz.
Dazu klappt man das Rechteck auf (dreht eine Seite um 90°), halbiert die Strecke, piekst dort den Zirkel rein und schlägt einen (Thales-)Kreis.
An der Ecke, wo man hochgeklappt hat, bildet man die Senkrechte. Wo die den Thaleskreis schneidet, das ist dann die Höhe.
Und dann gilt der Höhensatz: [mm] h^{2}=p*q [/mm] wobei p und q die Längen des ursprünglichen Rechteckes haben.
Rechnerisch kann man es lösen mit der Formel:
[mm] (\wurzel{w})^{2}=\left(\bruch{w+1}{2}\right)^{2}-\left(\bruch{w+1}{2}-1\right)^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Do 12.03.2009 | | Autor: | SchUdo |
Ich gehöre noch zur alten Schule, es galt einmal [mm] h^2 [/mm] = p * q
Dies gilt für alle natürlichen, gebrochenen und Dezimalzahlen. Wie schon beschrieben wird auch aus Pi/4 als 0,785398138 auf der Skale des Einheitskreises erst durch die Wurzel zu Wurzel(Pi/4), was dann in der Quadrantenbildung zur Quadratur des Kreises führt, zu 3^-10 gemau. Also, von der einen Seite des Kreises kommt die p=1 des Einheitskreises, von der anderen kommt Pi/4, was ich hier nicht weiter begründen will. Vom Ende Pi/4 wird mit der 1 gemeinsam die Mitte zeichnerisch ermittelt. Von der neuen Mitte aus wird der Thaleskreis gezeichnet, wobei an der Mittellinie des Einheitskreises der gesuchte Wurzelwert für die Quadratur des Kreises abgegriffen werden kann. Das gilt für alle Werte von >0 bis unendlich. Auch wenn man einen Wert von Wurzel(28) als Anfangshöhe hat, kann man hieraus p= 7 und q=4 finden oder q=14 und p=2 oder umgekehrt.
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