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Forum "Uni-Analysis" - Kontrahierend / Fixpunkt
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Kontrahierend / Fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 12.12.2005
Autor: Ernesto

Salut miteinander,

durch folgende Problemstellung kämpfe ich mich zur Zeit.

Vorraussetzung :

Sei f : [1,2] -> [ 1 , 2 ] mit  f(x) : = 2x + 2 / x+2

Behauptung : f ist kontrahierend.

Zum Beweis muss man doch zeigen , das eine Konstante L existiert so das gilt :

| f(x) - f(y) |   [mm] \le [/mm] L  |x-y |   für L  [mm] \le [/mm] 1

Aber wie macht man das ??

Behauptung 2

Finde alle Fixpunkte.

Ein Fixpunkt ist ja ein Punkt   [mm] \beta \in [/mm] [1,2] , so das [mm] f(\beta) [/mm] = [mm] \beta. [/mm]

dann muss doch gelten [mm] 2\beta [/mm] + 2 / [mm] \beta [/mm] + 2 = [mm] \beta [/mm]

daraus folgt das [mm] \beta^2 [/mm] = 2 und daraus [mm] \beta [/mm] =

Also ist  [mm] \wurzel{2} [/mm] ein Fixpunkt

        
Bezug
Kontrahierend / Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mo 12.12.2005
Autor: Julius

Hallo Ernesto!

> Vorraussetzung :
>
> Sei f : [1,2] -> [ 1 , 2 ] mit  f(x) : = 2x + 2 / x+2
>  
> Behauptung : f ist kontrahierend.
>
> Zum Beweis muss man doch zeigen , das eine Konstante L
> existiert so das gilt :
>
> | f(x) - f(y) |   [mm]\le[/mm] L  |x-y |   für L  [mm]\le[/mm] 1
>  
> Aber wie macht man das ??

Überlege dir, das $f$ auf dem Intervall $[1,2]$ stetig differenzierbar ist und schätze mit dem Mittelwertsatz ab! Du wirst sehen, dass das Supremum der Abletingen von $f$ auf dem betrachteten Intervall echt kleiner als $1$ ist.
  

> Behauptung 2
>  
> Finde alle Fixpunkte.
>
> Ein Fixpunkt ist ja ein Punkt   [mm]\beta \in[/mm] [1,2] , so das
> [mm]f(\beta)[/mm] = [mm]\beta.[/mm]
>  
> dann muss doch gelten [mm]2\beta[/mm] + 2 / [mm]\beta[/mm] + 2 = [mm]\beta[/mm]
>  
> daraus folgt das [mm]\beta^2[/mm] = 2 und daraus [mm]\beta[/mm] =
>
> Also ist  [mm]\wurzel{2}[/mm] ein Fixpunkt  

[ok]

Liebe Grüße
Julius

Bezug
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