Kontraktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 07.04.2009 | | Autor: | Psi |
| Aufgabe | K= $ [mm] \left\{ (x,y)^{T} \in \IR^{2}: ||(x,y)^{T}||_{\infty} \le 1 \right\} \subset \IR^{2} [/mm] $
Zeige, dass
f:K [mm] \to [/mm] K: [mm] (x,y)^{T} \mapsto 1/5*\pmat{ x^2+x+1 \\ y^2+x+y }
[/mm]
eine Kontraktion bzgl. der 1-er Norm ist. |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo zusammen,
Ich habe probiert eine Lipschitzkonstante zu finden, die kleiner als 1 ist:
[mm] ||f(x,y)-f(x',y')||_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}*(|x^{2}-x'^{2}+x-x'|+|y^{2}-y'^{2}+x-x'+y-y'|) [/mm]
[mm] \le \bruch{1}{5}*(|x-x'|*|x+x'|+|x-x'|+|y-y'|*|y+y'|+|x-x'|+|y-y'|) [/mm] =
[mm] \bruch{1}{5}*(|x-x'|*(|x+x'|+2)+|y-y'|*(|y+y'|+1))
[/mm]
x+x' bzw. y+y' durch 2 abschätzen und die x-x':
[mm] \le \bruch{1}{5}*(||(x,y)-(x',y')||_{1}*4+||(x,y)-(x',y')||_{1}*3)
[/mm]
Und jetzt komm ich auf eine Lipschitzkonstante 7/5.
Ich weiß nicht, wie ich das sonst noch abschätzen soll.
Bitte um Hilfe
mfg [mm] \psi
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass
> f:K [mm]\to[/mm] K: [mm](x,y)^{T} \mapsto 1/5*\pmat{ x^2+x+1 \\ y^2+x+y }[/mm]
>
> eine Kontraktion bzgl. der 1-er Norm ist.
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe probiert eine Lipschitzkonstante zu finden, die
> kleiner als 1 ist:
> [mm]||f(x,y)-f(x',y')||_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{5}*(|x^{2}-x'^{2}+x-x'|+|y^{2}-y'^{2}+x-x'+y-y'|)[/mm]
> [mm]\le \bruch{1}{5}*(|x-x'|*|x+x'|+|x-x'|+|y-y'|*|y+y'|+|x-x'|+|y-y'|)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{5}*(|x-x'|*(|x+x'|+2)+|y-y'|*(|y+y'|+1))[/mm]
> x+x' bzw. y+y' durch 2 abschätzen und die x-x':
> [mm]\le \bruch{1}{5}*(||(x,y)-(x',y')||_{1}*4+||(x,y)-(x',y')||_{1}*3)[/mm]
>
> Und jetzt komm ich auf eine Lipschitzkonstante 7/5.
> Ich weiß nicht, wie ich das sonst noch abschätzen soll.
> Bitte um Hilfe
Wie denn ? Du hast: f:K $ [mm] \to [/mm] $ K.
Wenn Du uns nicht sagst, was K ist, kann Dir keiner helfen !!
FRED
> mfg [mm]\psi[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Psi |
Sorry, dass hab ich ganz übersehen.
K= [mm] \left\{ (x,y)^{T} \in \IR^{2}: ||(x,y)^{T}||_{\infty} \le 1 \right\} \subset \IR^{2}
[/mm]
So, jetzt sollte es passen.
Danke Psi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, dass hab ich ganz übersehen.
>
> K= [mm]\left\{ (x,y)^{T} \in \IR^{2}: ||(x,y)^{T}||_{\infty} \le 1 \right\} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> So, jetzt sollte es passen.
>
> Danke Psi
????????????????????
Du schreibst oben: "Kontraktion bzgl. der 1-er Norm "
K ist aber mit der [mm] \infty [/mm] - Norm ausgestattet !
Welche Norm soll denn nun zugrunde gelegt sein ??
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Psi |
Danke für deine schnelle Antwort
Also im Text steht es so: K ist die abgeschlossene Einheitskugel bzgl der Maximumsnorm und eben, dass was ich geschrieben hab. Man sollte außerdem noch zeigen, dass f wohldefiniert ist (das hab ich schon) und eine Kontraktion bzgl. der 1er Norm ist.
Meinst du, dass es vielleicht ein Fehler in der Angabe ist, also dass statt der 1er Norm die Maximumsnorm dort oben stehen sollte?
Danke
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