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Hallo,
Eine Funktion hat folgende Eigenschaften:
f'(x) = f(x) * ((1/(x+1)-1)
f(0) = 1
Bestimme eine Funktionsgleichung von f.
Meine Lösung:
f(x) = e^(ln(x+1)-x)
Müsste doch stimmen, danke!
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Hallo,
> Hallo,
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> Eine Funktion hat folgende Eigenschaften:
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> f'(x) = f(x) * ((1/(x+1)-1)
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> f(0) = 1
>
> Bestimme eine Funktionsgleichung von f.
>
> Meine Lösung:
>
> f(x) = e^(ln(x+1)-x)
>
> Müsste doch stimmen, danke!
Ja das sehe ich auch so!
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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sowas löst man doch am besten durch "hinschauen" und nachdenken, oder wie hättet ihr es gemacht?
Dankeschön =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> sowas löst man doch am besten durch "hinschauen" und
> nachdenken,
das ist lobenswert !
Betrachte mal die folgende "homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung":
(*) $y' = a(x)y $,
wobei a eine auf einem Intervall I stetige Funktion ist. Dann hat a auf I eine Stammfunktion , nennen wir sie A.
Setze (mit eine bel. Konstanten c) :
[mm] $y_c(x) [/mm] = [mm] ce^{A(x)}$
[/mm]
Dann rechnest Du sofort nach, dass [mm] y_c [/mm] eine Lösung von (*) auf I ist.
Sei umgekehrt $y$ eine Lösung von (*) auf I und setze
$g(x) = [mm] \bruch{y(x)}{e^{A(x)}}$
[/mm]
Rechne nach , dass $g' = 0$ ist. Also ist $g$ konstant und und damit gibt es ein c mit: $y(x) = [mm] ce^{A(x)}$
[/mm]
Fazit:
$y$ ist eine Lösung von (*) auf I [mm] \gdw [/mm] es ex. c mit $y(x) = [mm] ce^{A(x)}$
[/mm]
FRED
> oder wie hättet ihr es gemacht?
>
> Dankeschön =)
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