Kontrolle: Uneig. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt \;\;\;(p>0, [/mm] w>0) |
[mm] u=e^{-pt} u'=-pe^{-pt}
[/mm]
[mm]v'=sin(wt) v=-\frac{1}{w}cos(wt)[/mm]
[mm] \left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}cos(wt)dt [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left(\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty} + \frac{p}{w}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt\right) [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p^2}{w^2}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] =\left(\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} - \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty=:b}\right)*\left(1+\frac{p^2}{w^2}\right) [/mm] = [mm] \\
[/mm]
= [mm] \left[\limes_{b\rightarrow\infty} \left(-\frac{1}{w}e^{-pb}cos(wt) - \frac{p}{w^2}e^{-pb}sin(wt)\right) [/mm] - [mm] \left(-\frac{1}{w}e^{0}cos(0) - \frac{p}{w^2}e^{0}sin(0)\right) \right]] [/mm] * [mm] \left(1+\frac{p^2}{w^2}\right) [/mm] = [mm] \\
[/mm]
= (0 - 0 + 0 + [mm] \frac{p}{w^2} [/mm] )* [mm] \left(1+\frac{p^2}{w^2}\right) [/mm]
Richtig so? Besonders mit den Vorzeichen?
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt \;\;\;(p>0,[/mm] w>0)
> [mm]u=e^{-pt} u'=-pe^{-pt}[/mm]
> [mm]v'=sin(wt) v=-\frac{1}{w}cos(wt)[/mm]
>
> [mm]\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty}[/mm] -
> [mm]\frac{p}{w}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}cos(wt)dt[/mm] = [mm]\\[/mm]
> [mm]=\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty}[/mm] -
> [mm]\frac{p}{w}\left(\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty} + \frac{p}{w}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt\right)[/mm]
> = [mm]\\[/mm]
> [mm]=\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty}[/mm] -
> [mm]\frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty}[/mm]
> - [mm]\frac{p^2}{w^2}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt[/mm] = [mm]\\[/mm]
Bis hierher dürfte alles stimmen.
> [mm]=\left(\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} - \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty=:b}\right)*\left(1+\frac{p^2}{w^2}\right)[/mm]
Was genau hast du jetzt getan?
Du weißt dank deiner Integration bereits:
[mm] $\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt [/mm] = [mm] \left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty} -\frac{p^2}{w^2}\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt$
[/mm]
Nun addierst du auf beiden Seiten das Integral mit dem entsprechenden Vorfaktor:
[mm] $\Rightarrow \left(1+\frac{p^2}{w^2}\right)*\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt [/mm] = [mm] \left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{p^2+w^{2}}{w^2}*\int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt [/mm] = [mm] \left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int_{0}^{\infty} e^{-pt}sin(wt)dt [/mm] = [mm] \frac{w^{2}}{p^2+w^{2}}*\Bigg[\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty}\Bigg]$
[/mm]
Probier's nun nochmal 
Nach Maple ist das richtige Ergebnis: [mm] \frac{w}{w^{2}+p^{2}}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Jajaja hab beim abschreiben das hier vergessen:
[mm] \left(\left[-\frac{1}{w}e^{-pt}cos(wt)\right]_0^{\infty} - \frac{p}{w}\left[\frac{1}{w}e^{-pt}sin(wt)\right]_0^{\infty}\right) [/mm] * [mm] \left(1+\frac{p^2}{w^2}\right)^{\red{-1}}
[/mm]
So wenn man dann weiterrechnet sollte das richtige Ergebnis rauskommen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Prüf doch deine Integrale schneller mit
![[]](/images/popup.gif) Wolfram
nach. da sparst du viel Schreibarbeit.
Gruss leduart
|
|
|
|
