Konv./Div. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Di 07.12.2004 | | Autor: | misterbecks |
Tach,
schreibe am Samstag die erste Klausur. Nun ist mir schon vieles klar, allerdings bin ich mir bei der Konvergenz immer noch nicht so ganz sicher. Die Def. habe ich schon verstanden....aber wenn ich eine bel. Folge gegeben habe, fällt es mir immer noch schwer, die ersten Schritte zu definieren.
Nehmen wir vielleicht mal als Beispiel
[mm] a_{n}:=\bruch{n^{2}+(-1)^{n}}{n+1}
[/mm]
Wie komme ich nun (mit allg. Schritten) zu der Entscheidung, ob konv. oder div.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 08.12.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin misterbex!
Für große n sehen die Folgeglieder wie der Quotient der bestimmenden (d.h. am schnellsten wachsenden Glieder) in Zähler und Nenner aus.
Hier [mm] n^{2} [/mm] und n also wie [mm] \bruch{n^{2}}{n}=n
[/mm]
Somit liegt die Vermutung nahe, das die Folge nicht konvergent ist.
Wir suchen also eine Abschätzung nach unten, die auch nicht konvergent ist.
[mm] \bruch{n^{2}+(-1)^{n}}{n+1}\ge\bruch{n^{2}-1}{n+1}=\bruch{n}{n}*(\bruch{n-\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n}})\to\bruch{n}{1}=n
[/mm]
Die Folge ist also stets [mm] \ge [/mm] n und für [mm] n\to\infty [/mm] geht n gegen [mm] \infty
[/mm]
ergo die Folge ist auch divergent.
Wäre deine Folge
[mm] a_{n}=\bruch{n+(-1)^{n}}{n^{2}+1}
[/mm]
suchten wir eine Abschätzung nach oben, da sich [mm] a_{n} [/mm] für große n wie [mm] \bruch{1}{n} [/mm] verhalten würde.
[mm] \bruch{n+(-1)^{n}}{n^{2}+1}\le\bruch{n+1)}{n^{2}+1}=\bruch{n}{n}*\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n+\bruch{1}{n}}\to\bruch{1}{n}\to0
[/mm]
also Folge konvergent
Standardverfahren bei Brüchen: durch den am stärksten wachsenden Teil des Nenners kürzen
Folgen mit Wurzeln
solltest du einmal Wurzeln in deiner Folge haben also Folgen derart:
[mm] a_{n}=\wurzel{n^{2}+cn+1}-\wurzel{n^{2}+1}
[/mm]
nutze die dritte binomische Formel [mm] (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{n^{2}+cn+1}-\wurzel{n^{2}+1}=\bruch{(\wurzel{n^{2}+cn+1})^{2}-(\wurzel{n^{2}+1})^{2}}{\wurzel{n^{2}+cn+1}+\wurzel{n^{2}+1}}=\bruch{cn}{\wurzel{n^{2}+cn+1}+\wurzel{n^{2}+1}}
[/mm]
nun das Standardverfahren für Brüche anwenden.
Achte aber darauf, das [mm] n*\wurzel{n}=\wurzel{n^{3}} [/mm] Faktor vor der Wurzel ist zu quadrieren, wenn du ihn in die Wurzel ziehen möchtest
also:
[mm] \bruch{cn}{\wurzel{n^{2}+cn+1}+\wurzel{n^{2}+1}}=\bruch{c}{\wurzel{1+\bruch{cn}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}+\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}}\to\bruch{c}{1+1}=\bruch{c}{2}
[/mm]
Das funktioniert auch wenn du ne Wurzel im Zähler eines Bruches hast.
Probier das mal bei:
[mm] a_{n}=\bruch{\wurzel{n}-3n}{n}
[/mm]
Rekursive Folgen:
Bei rekursiven Folgen ist im allgemeinen ein Startwert [mm] a_{1} [/mm] gegeben und [mm] a_{n+1} [/mm] wird aus [mm] a_{n} [/mm] gebildet.
[mm] a_{1}=2, a_{n+1}=\bruch{a^{2}_{n}+1}{2a_{n}}
[/mm]
um einen Anhalts punkt für weitere Rechnungen zu haben, nehmen wir an, das der Grenzwert existiert:
falls der GW existiert dann [mm] a_{n}\to [/mm] a und [mm] a_{n+1}\to [/mm] a
bilden Des GW bei [mm] a_{n+1}:
[/mm]
wenn der GW existiert, dann (*)
[mm] a_{n+1}=\bruch{a^{2}_{n}+1}{2a_{n}}\to a=\bruch{a^{2}+1}{2a}\gdw2a^{2}=a^{2}+1\gdw a^{2}=1\gdw a=\pm1
[/mm]
Wegen des Startwertes [mm] a_{1}=2 [/mm] folgt aus der Rekursionformel das [mm] a_{n}>0. [/mm] Damit kommt als GW nur noch 1 in Frage.
Bleibt nachzuweisen ob [mm] a_{n} [/mm] konvergent ist.
Da wir hoffen, das [mm] a_{n} [/mm] monoton vom Startwert 2 zum GW 1 fällt, verwenden wir das Kriterium "monoton fallend und nach unten [mm] beschränkt\Rightarrow [/mm] konvergent".
Monotonie:
zu zeigen [mm] a_{n+1}-a_{n}<0 [/mm] dann [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend
[mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{a^{2}_{n}+1}{2a_{n}}-a_{n}=\bruch{a^{2}_{n}+1-2a^{2}_{n}}{2a_{n}}=\bruch{-a^{2}_{n}+1}{2a_{n}}<0
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] ist also monoton fallend
nach unten Beschränkt:
zu zeigen [mm] 1\le a_{n} [/mm] oder (**) [mm] 0\le a_{n}-1
[/mm]
das machst du am besten induktiv
für n=1 gilt die Aussage (**) klar!
es gelte also [mm] a_{n}-1\ge0 [/mm] (Voraussetzung)
z.z [mm] a_{n+1}-1\ge0
[/mm]
[mm] a_{n+1}-1=\bruch{a^{2}_{n}+1}{2a_{n}}-1=\bruch{a^{2}_{n}+1-2a_{n}}{2a_{n}}=\bruch{(a_{n}-1)^{2}}{2a_{n}}\ge0
[/mm]
da der Zahler nicht negativ und der Nenner nach Voraussetzung positiv ist.
Also ist [mm] a_{n} [/mm] durch 1 nach unten beschränkt und Monoton fallend also konvergent.
Somit kannst du (*) als Grenzwertberechnung nochmal aufschreiben.
Schau dir letztendlich doch einfach noch das Einschließungskriterium an:
sind [mm] c_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] zwei konvergente Folgen mit lim [mm] c_{n}=lim b_{n}=a [/mm] und gilt weiter [mm] c_{n}\le a_{n}\le b_{n} [/mm] dann ist auch [mm] a_{n} [/mm] konvergent und lim [mm] a_{n}=a
[/mm]
noch Fragen?
MfG zwerg
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Hmm, also gibt es bei der Wahl des N oder [mm] \varepsilon [/mm] einen direkten Zusammenhang?
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