Konv. einer Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich will zeigen für welche x die Funktionenfolge
[mm] f_{n}(x):=n^2*x*(1-x)^n
[/mm]
punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert.
Ich bin zudem Entschluss gekommen dass für [mm] x=a/n^2, a\in\IR
[/mm]
die Funktionenfolge konvergiert, denn:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2*a/n^2 *(1-a/n^2)^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a*(1-a/n^2)^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a*(1-\wurzel{a}/n)^n [/mm] * [mm] (1+\wurzel{a}/n)^n [/mm] = [mm] a*exp(-\wurzel{a})*exp(\wurzel{a}=a,
[/mm]
die Grenzfunktion von [mm] f_{n}(x) [/mm] wäre bestimmt.
die gleichmäßige konvergenz davon währe nun nicht mehr schwer zu bestimmen.
ich weiss nur nicht ob ich x so von n abhängig machen darf.
Antworten würden mich sehr freuen.
viele Grüße
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Hiho,
> Ich bin zudem Entschluss gekommen dass für [mm]x=a/n^2, a\in\IR[/mm] die Funktionenfolge konvergiert
der Satz macht absolut gar keinen Sinn.
Die Konvergenz einer Funktionenfolge ist eben die Konvergenz der gesamten Funktion, und zwar überall, nicht nur an einigen Stellen.
Im übrigen darf wenn überhaupt der Bereich, auf den du dich einschränkst, gar nicht von n abhängen, denn das läuft schließlich.
Wie willst du das in deinem Fall denn machen? Immer andere x nehmen?
Wenn man deinen Ansatz konsequent weiterführt, würde deine Funktion nur für x=0 konvergieren!
D.h. du kannst dir nicht einfach einige x herauspicken, sondern musst es für alle x aus dem Definitionsbereich zeigen!
Die Aufgabe lautet jetzt, den Definitionsbereich so einzuschränken, dass deine Funktionenfolge für alle x aus dem Definitionsbereich konvergiert.
Aber da dir Grundverständnis zu fehlen scheint, machen wir das mal schrittweise und fangen mit der punktweisen Konvergenz an:
Überleg dir mal, welche Bedingungen gelten müssen, damit der Ausdruck [mm] $n^2x(1-x)^n$ [/mm] konvergiert.
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | also ich finde deine Antwort recht beleidigend.
es ist aus dem Text klar zu erkennen dass ich wissen
wollte ob ich x von n abhängig machen darf.
Es galt den Definitionsbereich zu finden.
Das erkennen intelligente Menschen
schönen Tag noch allen andern. |
also ich finde deine Antwort recht beleidigend.
es ist aus dem Text klar zu erkennen dass ich wissen
wollte ob ich x von n abhängig machen darf.
Es galt den Definitionsbereich zu finden.
Das erkennen intelligente Menschen
schönen Tag noch allen andern.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 28.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also ich finde deine Antwort recht beleidigend.
es war keine Beleidigung von Gono, er hat die Fakten klar auf den Tisch
gelegt. Wir können Dir auch "Honig um den Mund schmieren" und uns
ewig lange damit aufhalten, Dir klarzumachen, dass da einiges an
Nachholbedarf zu bestehen scheint. Oder wir machen's kurz, aber
anscheinend für Dich schmerzhaft. An den Fakten ändern tut's nix, und Du
wirst es vielleicht nicht glauben, aber Gonos Antwort war in der Tat
eigentlich sogar noch eher nett formuliert.
> es ist aus dem Text klar zu erkennen dass ich wissen
> wollte ob ich x von n abhängig machen darf.
Mal abgesehen davon, dass Gono deutlich klar gestellt hat, dass das so,
wie Du es gemacht hast, nicht geht, hat er auch ganz deutlich erklärt,
warum das nicht geht. Lerne mit Fakten zu leben. Es ist auch keine
Schande, mal "totalen Unsinn" geschrieben zu haben. Aber dann
deswegen beleidigt zu sein, weil Dir das halt jemand deutlich gesagt hat,
finde ich schon nicht angemessen. Vielleicht ist es aber auch nur ein Satz,
weswegen Du Dich ein wenig angegriffen gefühlt hast:
> "Aber da dir Grundverständnis zu fehlen scheint..."
Das kann ich durchaus nachvollziehen, diese Formulierung von Gono ist
nicht gerade gelungen. Was er Dir sagen wollte, ist, dass Du Dir
anscheinend noch nicht die Definitionen des Begriffes "Konvergenz einer
Funktionenfolge" klargemacht hast - oder sie missverstanden hast. Und
solange es daran schon scheitert, und das sei mal ganz deutlich gesagt,
wirst Du den Begriff der "gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenfolge"
erst recht nicht verstehen können (jedenfalls wäre das für mich sehr
verwunderlich)!
Und dieses "momentan fehlende Grundverständnis" - mit den Worten, wie
Gono es gesagt hat - ist nun auch nicht so schlimm! Wenn Du mit diesen
Begriffen schon perfekt arbeiten könntest, müßtest Du sie nicht weiter
durch Übungen erlernen. Nichtsdestotrotz ist die Wahrheit hier die:
Offensichtlich solltest Du nochmal genau in die Definition reingucken, und
Dir überlegen, ob das so, wie Du damit arbeitest, irgendwie "sinnvoll
zusammenpasst". Wenn Du das tust, wirst Du sehen, dass dem nicht so
ist. Was ich Dir schonmal sagen kann: Bei "Funktionenfolgen" gibt's
durchaus Beweise mit solchen Ausdrücken [mm] "$f_n(x_{n})$" [/mm] - ich habe sie
aber bisher eigentlich im Wesentlichen fast nur dann gesehen, wenn die
glm. Konvergenz einer Funktionenfolge WIDERLEGT werden soll.
Wenn man sich mal genau hinschreibt, wann eine Funktionenfolge
"nicht glm. konvergent" heißt, sieht man auch, dass da solche Ausdrücke
durchaus Sinn machen könnten.
Und um's nochmal kurz zu machen: Seien etwa alle [mm] $f_n: [/mm] D [mm] \to \IR\,,$ [/mm] mit
etwa $D [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Dann heißt [mm] $(f_n)_n$ [/mm] PUNKTWEISE
konvergent, wenn gilt:
Für jedes beliebige [mm] $x_0 \in [/mm] D$ konvergiert die Folge [mm] $(f_n(x_0))_n\,.$
[/mm]
D.h.: Wenn man wissen will, ob [mm] $(f_n)_n$ [/mm] punktweise konvergent ist,
dann fängt man an:
Sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ nun beliebig, aber im folgenden als fest gewählt betrachtet.
(D.h. [mm] $x_0$ [/mm] wird einmal gewählt - aber nicht speziell, sondern nur mit den
durch [mm] $D\,$ [/mm] charakterisierenden Eigenschaften "ausgestattet" - und ist
im Folgenden wie ein Parameter zu betrachten!)
Nun betrachtet man die Folge [mm] $(f_n(x_0))_n$...
[/mm]
Du entnimmst den obigen Formulierungen: [mm] $x_0 \not=x_0(n)\,,$ [/mm] wir dürfen
es eben NICHT mehr mit [mm] $n\,$ [/mm] variieren lassen!
> Es galt den Definitionsbereich zu finden.
> Das erkennen intelligente Menschen
Dieser Kommentar ist unnötig, und das geht eher wirklich in Richtung
Beleidigung. Da das aber eine Reaktion auf eine vermutlich von Gono
eher unbedachte Formulierung war, würde ich nun einfach sagen:
Reicht Euch wieder die Hand, Schwamm drüber, und von nun an gehen
wir das alle sachlich an. Und wenn sich einer beleidigt fühlt, fragt er/sie
vielleicht einfach mal kurz nach, wie das eigentlich gemeint war. Denn dann
entsteht sowas wie hier erst gar nicht. Im richtigen Leben "beleidigt man
sich ja auch nicht einfach mal so", da gibt's auch erst böse Reaktionen,
wenn jemand merkt, dass die andere Person es auch wirklich böse
gemeint hat!
P.S.
> ich will zeigen für welche x die Funktionenfolge
> $ [mm] f_{n}(x):=n^2\cdot{}x\cdot{}(1-x)^n [/mm] $
> punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert.
Wenn man das wörtlich nimmt, und das tun viele intelligente Menschen  ( sei mir nicht böse, aber das musste nun sein  ),
würde man Dich erstmal fragen:
- bzgl. welcher Grundmenge soll [mm] $x\,$ [/mm] sein? [mm] $\IN$? $\IZ$? $\IQ$?
[/mm]
Aber okay: Vermutlich [mm] $\IR$! [/mm] (Es könnte aber durchaus auch [mm] $\IC$ [/mm] sein!)
Außerdem:
Du hättest besser geschrieben: "Ich habe zu untersuchen, für genau
welche $x$ [mm] ($\in \IR$) [/mm] die Funktionenfolge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] mit ... konvergiert..."
Aber okay: Zu penibel wollen wir nicht werden.
Zudem:
> die gleichmäßige konvergenz davon währe nun nicht mehr schwer zu
> bestimmen.
Kannst Du erklären, was der Sinn/Inhalt dieses Satzes ist? Eine
gleichmäßige Konvergenz kann nur dann vorliegen, wenn man punktweise
schon hat. Und neben der Tatsache, dass der obige Satz schon wegen
den vorhergegangenen "Fehlern" keinen Sinn macht, hängt die glm.
Konvergenz einer Funktionenfolge strikt davon ab, auf welchem Bereich
man sie untersucht. Es gibt Funktionenfolgen, die auf einem gewissen
Definitionsbereich nicht glm. konvergent sind, nichtsdestotrotz aber auf
jeder kompakten Teilmenge davon...
P.P.S.
Nein, hier ist nichts beleidigend gemeint. Falls Du aber etwas doch so
empfindest, dann entschuldige ich mich im Voraus schonmal dafür, bis wir
das aufgeklärt haben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> ich will zeigen für welche x die Funktionenfolge
> [mm]f_{n}(x):=n^2*x*(1-x)^n[/mm]
> punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert.
neben allem anderen bereits gesagten:
Ich gebe Dir mal ein konkretes Beispiel. Ich behaupte einfach mal,
dass die Funktionenfolge JEDENFALLS auf [mm] $[0,\;1/2]$ [/mm] PUNKTWEISE
konvergiert. (Weil das nicht "der maximale Bereich" sein wird, reden wir
hier nun auch noch nicht über glm. Konvergenz - auch, wenn ich Dir
sagen können werde, dass die Funktionenfolge auf diesem Bereich
auch in der Tat glm. konvergieren würde!)
Für [mm] $x_0=0\,$ [/mm] ist [mm] $f_n(x_0)=f_n(0)=n^2*0*(1-0)^n=0 \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Für $0 < [mm] x_0 \le [/mm] 1/2$ existiert ein [mm] $\epsilon(x_0) [/mm] > 0$ (beachte, dass
[mm] $\epsilon(x_0)$ [/mm] auch fest bleibt, wenn [mm] $x_0$ [/mm] dies ist!) so, dass wir
[mm] $$1-x_0=1/(1+\epsilon(x_0))$$
[/mm]
schreiben können. Dann folgt für jedes natürliche $n [mm] \ge [/mm] 3$
[mm] $$f_n(x_0)=n^2*x_0*(1-x_0)^n=n^2 \frac{x_0}{(1+\epsilon(x_0))^n} \le n^2 \frac{x_0}{{n \choose 3}(\epsilon(x_0))^3}=n^2\frac{\overbrace{6}^{3!}\;\;\;x_0}{n*(n-1)*(n-2)\;(\epsilon(x_0))^3} \le n^2 *\frac{6x_0}{n^3\;(\epsilon(x_0))^3}=\frac{6x_0}{n\;(\epsilon(x_0))^3}$$
[/mm]
Nun lasse $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben!
P.S.
Wie gesagt: Das ganze erstmal nur "beispielhaft"! Hier steht nirgends,
dass die Funktionenfolge außerhalb von [mm] $[0,\;1/2]$ [/mm] divergieren müsse.
Gruß,
Marcel
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