Konv. einer Funktionenreihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 02.06.2010 | | Autor: | BuZZo |
| Aufgabe | | Zeige: die Funktionenreihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_{n}(x) [/mm] $ mit fn:IR -> IR und $ [mm] f_{n}(x)=\bruch{x}{(1+x^{2})^{n}} [/mm] $ konvergiert punktweise. |
Hallo allerseits,
könnte mir bei dieser Aufgabe vielleicht jemand nen Wink mit nem Zaunpfahl geben. Ich vermute, dass ich die Konvergenz relativ leicht über eine Majorante nachweisen kann - vermutlich läuft es auf eine geometrische Reihe hinaus - ich krieg blos keine plausible Abschätzung nach oben hin.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich vermute, dass ich die
> Konvergenz relativ leicht über eine Majorante nachweisen
> kann - vermutlich läuft es auf eine geometrische Reihe
> hinaus - ich krieg blos keine plausible Abschätzung nach
> oben hin.
die Idee ist schonmal nicht schlecht.
Für $x=0$ konvergiert die Reihe, sei also [mm] $x\not=0$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \left|\bruch{x}{(1+x^2)^n}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{x}{(1+x^2)}\bruch{1}{(1+x^2)^{n-1}}\right| \le \left|\bruch{1}{(1+x^2)^{n-1}}\right| [/mm] = [mm] \left|\left(\bruch{1}{1+x^2\right)^{n-1}}\right|
[/mm]
Siehst es nun? 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mi 02.06.2010 | | Autor: | BuZZo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für die schnelle Antwort - $\bruch{1}{(1+x^2)^{-1}}} $ zieh ich vor die Summe und $ \summe_{n=0}^{\infty}( \bruch{1}{(1+x^2))^{n}}} $ ist ja eine konvergente Reihe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Moment, da steht dann n-1 im Exponenten!
D.h. da reicht eine einfache Indexverschiebung.
MFG,
Gono,
|
|
|
|
