Konv.im quadr. Mittel-pktweise < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
| Aufgabe | | Konstruiere eine Folge von Funktionen [mm] x_{n}\in C[-\pi,pi], [/mm] die zwar im quadratischen Mittel, nicht jedoch punktweise gegen 0 strebt. |
halli hallo!
ich habe genau die umgekehrte Aufgabe schon mal gestellt (der betreff meiner frage war "folgenkonstruktion"), und diese wurde auch beantwortet!
jetzt habe ich eben genau das umgekehrte zu lösen!
diesmal habe ich vielleicht sogar schon eine solche funktionenfolge gefunden. die frage ist jetzt nur, ob die auch hier funktioniert:
die funktionenfolge schaut so aus:
[mm] f(n)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x \in [0,1] \mbox{ } \\ , & \mbox{ } sonst \mbox{} \end{cases}
[/mm]
punktweise kann sie nciht gegen 0 konvergieren, da
[mm] f_{n}(1)=1 [/mm] für alle n ist.
aber im quadratischen mittel schon, da das [mm] \integral_{0}^{1}{f_{n}(x)^2 dx} [/mm] kleiner als [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] ist, und das geht ja gegen 0.
die erste frage: stimmt das prinzipiell?
die zweite: hab ich ein problem, dass meine folge ja nicht wirklich in [mm] C[-\pi,\pi] [/mm] definiert ist (bzw. außer zwischen 0und 1 überall 0 ist)
die dritte, ist diese funktionenfolge denn überhaupt stetig???
ich bedanke mich schon mal im voraus für tipps und hinweise!
lg anitram
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Dein Funktion ist leider nicht stetig
ich würde folgende Funktion nehmen
[mm] f(n)=\begin{cases} (\bruch{x+\pi}{\pi})^{2n}, & \mbox{für } -\pi \le x \le 0 \\ (\bruch{x-\pi}{\pi})^{2n}, & \mbox{für } 0 \le x \le \pi \end{cases}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Do 26.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo werner!
zuerst einmal vielen dank für deine hilfe!
nur zur kontrolle würde ich gerne noch meine ergebnisse überprüfen lassen, wenns möglich ist!
punktweise konvergent ist diese folge nicht, weil im Punkt 1 hat sie ja immer den wert 1, und sonst divergiert sie.
aber im quadratischen mittel konvergiert sie gegen 0.
ich erhalte nämlich hier:
für n gerade: [mm] (\bruch{2\pi}{4n+1})^{1/2} [/mm] und das geht ja gegen 0
für n ungerade: erhalte ich 0.
stimmt das so??
vielen dank schon mal imvoraus!!
lg anitram
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 26.04.2007 | | Autor: | wauwau |
stimmt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Do 26.04.2007 | | Autor: | anitram |
super, danke!!!
lg anitram
|
|
|
|
