Konvergen von Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n}=(n^{2}+1)/(n^{2}+n) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Untersuchen sie [mm] (a_{n}) [/mm] auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Ich habe bemerkt das [mm] a_{1}=1 [/mm] ist. Danach verläuft die Folge gegen 1. Ich kriege kein Epsilon errechnet um die konvergenz zu zeigen. Daher frag ich mich ist die Folge überhaupt konvergent wenn 1 in der Folge liegt. Wenn nicht wie zeige ich das?
lg
Michael
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=433802]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib [mm] a_n=1/2+1/n
[/mm]
dann solltest du den GW sehen und dein epsilon finden.
Gruss leduart
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Tut mir leid ich habe einen falschen Syntax für die mathe aufgabe genommen. dadurch wurde aus [mm] n^{2} [/mm] zu n.
lg
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deshalb sollte man seine posts mit Vorschau ansehen.
die 1 sieht man direkt, wenn man Zähler und Nenner durch [mm] n^2 [/mm] teilt.
wie suchst du denn ein [mm] N(\epsilon)
[/mm]
du musst ja nicht ein möglichst kleines n finden, sondern nur irgend eines.
Zeig mal, was du so probiert hast.
Gruss leduart
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d(1, [mm] a_{n})=|a_{n} [/mm] - 1|< [mm] \varepsilon [/mm] wäre meine Bedingung und würde dann nach n umstellen um zu wissen was ich für [mm] N(\varepsilon) [/mm] wähle.
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Hallo!
Ja, prinzipiell kannst du so vorgehen und [mm] |a_{n} [/mm] - 1| betrachten. Allerdings würde ich am ehesten folgendes tun:
[mm] |a_{n} [/mm] - 1| = [mm] |(n^{2}+1)/(n^{2}+n) [/mm] - 1| = [mm] |(n^{2}+1)/(n^{2}+n) [/mm] - [mm] (n^{2}+n)/(n^{2}+n)| [/mm] = [mm] |(1-n)|/|(n^{2}+n)| [/mm] = (n-1)/(n(n+1)) [mm] \le [/mm] 1/n
Wenn du dir aber nun das n [mm] \ge [/mm] N denkst, so ist natürlich 1/n [mm] \le [/mm] 1/N.
Wie muss aber nun N in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] gewählt werden? Nun, setze [mm] N>1/\varepsilon. [/mm] Dann folgt 1/N < [mm] \varepsilon, [/mm] und du hast deine Aufgabe gelöst!
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Danke für deine Hilfe =)
Nicht drauf gekommen das auf 1/n zu beziehen.
LG Michael
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