Konvergente Folge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X. Zeige: Gibt es sein [mm] \alpha [/mm] > 1 so, dass für alle n [mm] \ge [/mm] 1 gilt
[mm] d(x_n [/mm] , [mm] x_{n+1}) \le \bruch{1}{n^{\alpha}}, [/mm] so ist [mm] (x_n) [/mm] konvergent. |
Hallo,
ich habe leider nicht wirklich eine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll..
Kann man evtl. zeigen, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Weil (X,d) ja vollständig ist, würde [mm] (x_n) [/mm] dann ja konvergieren...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Do 24.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und sei [mm](x_n)[/mm]
> eine Folge in X. Zeige: Gibt es sein [mm]\alpha[/mm] > 1 so, dass
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1 gilt
> [mm]d(x_n[/mm] , [mm]x_{n+1}) \le \bruch{1}{n^{\alpha}},[/mm] so ist [mm](x_n)[/mm]
> konvergent.
> Hallo,
>
> ich habe leider nicht wirklich eine Idee, wie ich diese
> Aufgabe angehen soll..
> Kann man evtl. zeigen, dass [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Ja, wenn kein Grenzwert bekannt ist, bleibt einem meist nichts anderes uebrig. Tip: Wende auf [mm] $d(x_{n},x_{n+k})$ [/mm] wiederholt die Dreiecksungleichung an, sodass eine Summe von Ausdruecken der Form [mm] $d(x_{m},x_{m+1})$ [/mm] entsteht.
> Weil (X,d) ja vollständig ist, würde [mm](x_n)[/mm] dann ja
> konvergieren...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Es ist ja d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)
Wenn ich das jetzt auf unseren Fall übertrage ist dann:
[mm] d(x_n, x_{n+k})= d(x_n, x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+k})?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 24.07.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, aber keine Gleichheit. Und wie ich sagte: wende die Abschaetzung wiederholt an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
> Ja, aber keine Gleichheit. Und wie ich sagte: wende die
> Abschaetzung wiederholt an.
Wollte nur sicher gehen dass das so ok ist.
Dann so was in der Art?
[mm] d(x_n,x_{n+k}) \le \summe_{i=0}^{n} d(x_{i+1}, x_i)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Ja, aber keine Gleichheit. Und wie ich sagte: wende die
> > Abschaetzung wiederholt an.
>
> Wollte nur sicher gehen dass das so ok ist.
>
> Dann so was in der Art?
>
> [mm]d(x_n,x_{n+k}) \le \summe_{i=0}^{n} d(x_{i+1}, x_i)[/mm]
Sowas in der Art ja. Aber obiges stimmt nicht. Was hab ich Dir hier geschrieben
https://www.vorhilfe.de/read?i=1030627
???
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Sein [mm] \in \IN [/mm] fest. Zeige mit der Dreiecksungleichung induktiv:
[mm] d(x_n,x_{n+k}) \le \summe_{j=0}^{k-1}\bruch{1}{(n+j)^{\alpha}} [/mm] für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
Weiter ist [mm] \summe_{j=0}^{k-1}\bruch{1}{(n+j)^{\alpha}} \le \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{1}{(n+j)^{\alpha}}=:a_n
[/mm]
Wenn Du noch begründen kannst, warum [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, bist Du fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Sorry, aber ich hatte deine Antwort noch nicht gelesen, als ich die Frage formuliert hatte. Ich kann das, was du geschrieben hast zwar nachvollziehen, aber ich wäre da nie selbst drauf gekommen. Deshlab würde ich lieber den Weg nachverfolgen, den Hippias vorgeschlagen hatte. Wie müsste ich denn meine Summe ändern, damit das, was ich geschrieben hatte, stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber ich hatte deine Antwort noch nicht gelesen, als
> ich die Frage formuliert hatte. Ich kann das, was du
> geschrieben hast zwar nachvollziehen, aber ich wäre da nie
> selbst drauf gekommen. Deshlab würde ich lieber den Weg
> nachverfolgen, den Hippias vorgeschlagen hatte.
Hippias hat nichts anderes vorgeschlagen !
> Wie müsste
> ich denn meine Summe ändern, damit das, was ich
> geschrieben hatte, stimmt?
Mach doch das mal, was ich Dir gesagt habe !
FRED
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