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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Do 26.06.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Man setzte [mm] a_{n} [/mm] jeweils gleich den folgenden Ausdrücken, berechne hiermit den Grenzwert A der Zahlenfolge [mm] {a_{n}} [/mm] und bestimme danach ein [mm] N=N(\varepsilon) [/mm] derart, dass [mm] |a_{n}-A|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N(\varepsilon) [/mm] gilt.
[mm] a_{n}=\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}} [/mm] |
Also ich habe begonnen mit [mm] |\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}}|<\varepsilon
[/mm]
nun stellt sich mir hier schon die Frage, ob ich das darf? Ich habe mir gedacht, dass diese Folge evtl. eine Nullfolge sein könnte mit also dem Grenzwert 0 für [mm] n\to\infty [/mm] ...also wäre A=0. Um das zu prüfen müsste ich ja
[mm] |a_{n}-0|<\varepsilon \to |a_{n}|<\varepsilon [/mm] ...wie ich bereits angesetzt habe.
1.Frage: Kann ich schon vorher sicher sein, dass der Grenzwert für diese Folge 0 ist, bevor ich anfange zu prüfen ob [mm] \to |a_{n}|<\varepsilon [/mm] einen Wert [mm] n>N(\varepsilon) [/mm] liefert?
Ich wollte nun die Ungleichung nach n umstellen. Ich wusste allerdings nicht wie ich dies tun sollte durch [mm] sin(n)+cos^3 [/mm] (n) im Zähler.
In meiner Lösung steht nun:
[mm] |\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1+ 1}{\wurzel{n}}<\varepsilon [/mm]
2.Frage: Warum wird nun aus sin(n) = 1 und [mm] cos^3(n)=1 [/mm] im Zähler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Hilfe.
Danke
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Hallo carl1990,
> Man setzte [mm]a_{n}[/mm] jeweils gleich den folgenden Ausdrücken,
> berechne hiermit den Grenzwert A der Zahlenfolge [mm]{a_{n}}[/mm]
> und bestimme danach ein [mm]N=N(\varepsilon)[/mm] derart, dass
> [mm]|a_{n}-A|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N(\varepsilon)[/mm] gilt.
>
> [mm]a_{n}=\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}}[/mm]
> Also ich habe
> begonnen mit [mm]|\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}}|<\varepsilon[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nun stellt sich mir hier schon die Frage, ob ich das darf?
Ja!
> Ich habe mir gedacht, dass diese Folge evtl. eine Nullfolge
> sein könnte mit also dem Grenzwert 0 für [mm]n\to\infty[/mm] ...also
> wäre A=0. Um das zu prüfen müsste ich ja
> [mm]|a_{n}-0|<\varepsilon \to |a_{n}|<\varepsilon[/mm] ...wie ich
> bereits angesetzt habe.
ganz genau!
>
> 1.Frage: Kann ich schon vorher sicher sein, dass der
> Grenzwert für diese Folge 0 ist, bevor ich anfange zu
> prüfen ob [mm]\to |a_{n}|<\varepsilon[/mm] einen Wert
> [mm]n>N(\varepsilon)[/mm] liefert?
Hmm, wenn nachher alles klappt, war's der richtige GW.
Wenn du heuristisch - etwa durch Einsetzen eines sehr großen Wertes für n - oder dem Gefühl nach diesen GW vermutest oder erwartest, dann setze so an...
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> Ich wollte nun die Ungleichung nach n umstellen. Ich wusste
> allerdings nicht wie ich dies tun sollte durch [mm]sin(n)+cos^3[/mm]
> (n) im Zähler.
>
> In meiner Lösung steht nun:
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> [mm]|\bruch{sin(n) + cos^3 (n)}{\wurzel{n}}|<\varepsilon[/mm]
>
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> [mm]\bruch{1+ 1}{\wurzel{n}}<\varepsilon[/mm]
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> 2.Frage: Warum wird nun aus sin(n) = 1 und [mm]cos^3(n)=1[/mm] im
> Zähler?
Es gilt wegen der Dreiecksungleichung: [mm] $|\sin(n)+\cos^3(n)|\le |\sin(n)| [/mm] \ + \ [mm] |\cos^3(n)|$
[/mm]
Nun liegen die Werte von [mm] $\sin,\cos$ [/mm] ja zwischen -1 und 1.
Du bist daran interessiert, dein [mm] $|a_n-A|$ [/mm] nach oben abzuschätzen.
Der betragsmäßig größte Wert von [mm] $\sin,\cos$ [/mm] ist also 1 (damit auch der von [mm] $\cos^3$)
[/mm]
Also [mm] $|\sin(n)+\cos^3(n)|\le |\sin(n)| [/mm] \ + \ [mm] |\cos^3(n)|\le [/mm] 1 \ + \ 1=2$
Damit ergibt sich dann eine relativ leicht nach n aufzulösende Ungleichung ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Bitte um Hilfe.
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> Danke
Gruß
schachuzipus
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