Konvergente Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 01.11.2009 | | Autor: | Drechen |
| Aufgabe | | Sei (a Index n) n [mm] \in \IN [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert a. Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] beliebig. Zeige, dass die Folge [mm] (\lambda \* [/mm] a Index n) n [mm] \in \IN [/mm] auch konvergiert, und zwar gegen [mm] \lambda \* [/mm] a |
Hallo ihr Lieben!
Sorry wegen dem Index, aber habe das unten in der Formelsammlung irgendwie nicht entdeckt.
Also ich find den Satz ja eigentlich recht logisch, jedoch weiß ich nicht wie ich das ganze beweisen soll.
Ich muss doch abschätzen oder?
Über Hilfe, Tipps oder Vorschläge wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
Andrea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Sei [mm] (a_n)_{ n\in \IN} [/mm] eine konvergente Folge reeller
> Zahlen mit Grenzwert a. Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] beliebig.
> Zeige, dass die Folge [mm](\lambda \*[/mm] [mm] a_n)_{ n\in \IN} [/mm] auch
> konvergiert, und zwar gegen [mm]\lambda \*[/mm] a
> Hallo ihr Lieben!
> Sorry wegen dem Index, aber habe das unten in der
> Formelsammlung irgendwie nicht entdeckt.
Hallo,
[mm] x_{12} [/mm] bekommst Du so: x _ { 12 } , alles ohne Abstand.
> Also ich find den Satz ja eigentlich recht logisch, jedoch
> weiß ich nicht wie ich das ganze beweisen soll.
Am besten schreibst Du erstmal auf, was es bedeutet, daß [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert.
Danach notiere, was Du zeigen mußt:
Zu jedem [mm] \varepsilon' [/mm] > 0 gibt es ein [mm] N\in \IN [/mm] so, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] mit n>N gilt [mm] |\lambda a_n [/mm] - [mm] \lambda a|<\varepsilon'. [/mm]
Versuche, dies mithilfe deienr Voraussetzung zu zeigen.
Fang mal an, Du kannst ja dann Deine Rechnung posten und um Rat fragen, wenn Du nicht weiterkommst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 01.11.2009 | | Autor: | Drechen |
Erstmal danke für deine schnelle Antwort...
Also [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a.
Diese Voraussetzung bedeutet:
[mm] |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
Aus deiner Hilfe
[mm] |\lambda a_n-\lambda a|<\varepsilon
[/mm]
kann man dann ja lambda ausklammern und kommt auf folgendes:
[mm] |\lambda| \* |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
oder?
und da der eine Term ja gegen a konvergiert und man diese einfach nur mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert kann ich daraus schließen, dass [mm] \lambda a_n [/mm] gegen a [mm] \* \lambda [/mm] konvergiert oder wie mach ich dann weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 01.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
der Trick bei der ganzen Sache ist, ein geeignetes [mm] \varepsilon>0 [/mm] zu finden, um zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\lambda*a_n=\lambda*a.
[/mm]
> Also [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a.
>
> Diese Voraussetzung bedeutet:
Es existiert ein [mm] \varepsilon'>0, [/mm] sodass
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon'[/mm]
[mm] \forall{n\ge{N}},N\in\IN [/mm] (siehe angela) mit [mm] \varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{|\lambda|}, \varepsilon>0, [/mm] ohne Einschränkung sei [mm] \red{\lambda\not=0}.
[/mm]
> Aus deiner Hilfe
> [mm]|\lambda a_n-\lambda a|<\varepsilon[/mm]
> kann man dann ja
> lambda ausklammern und kommt auf folgendes:
>
> [mm]|\lambda| \* |a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
> oder?
Das ist schon mal gut.
[mm] |\lambda a_n-\lambda a|=|\lambda*(a_n- a)|=|\lambda|*|a_{n}-a|<|\lambda|*\varepsilon'\underbrace{=}_{\varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{|\lambda|}}|\lambda|*\bruch{\varepsilon}{|\lambda|}=\varepsilon \\\ \forall{n\ge{N}}.
[/mm]
Damit wäre dann gezeigt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\lambda*a_n=\lambda*a.
[/mm]
Gruß barsch
|
|
|
|
