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| Aufgabe | Untersuchen sie auf Konvergenz und berechnen sie gegebenenfalls:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{cosh(y)}\, [/mm] dy |
Hallöchen.
Ich weiß nicht so ganz wie ich bei dieser Aufgabe auf Konvergenz testen kann bzw wie ich generell auf Konvergenz teste wrde mich über denkanreize freuen:)
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Hallo mathefreak89,
> Untersuchen sie auf Konvergenz und berechnen sie
> gegebenenfalls:
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{1}{cosh(y)}\,[/mm] dy
>
> Hallöchen.
>
> Ich weiß nicht so ganz wie ich bei dieser Aufgabe auf
> Konvergenz testen kann
Hier kannst du das Integral direkt ausrechnen.
Nutze die Definition [mm]\cosh(y)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^y+e^{-y}\right)[/mm] und substituiere [mm]u=u(y):=e^y[/mm]
> bzw wie ich generell auf Konvergenz
> teste
Allg. musst du halt abschätzen, das Ausrechnen des Integralwertes ist nicht nötig.
Wenn du eine konvergente Majorante, also eine größeres Integral mit endlichem Wert, angeben kannst, ist dein kleineres natürlich auch konvergent.
Analog für Divergenz.
Oft (und auch hier) kann man die Achsensymmetrie nutzen und das Problem leicht vereinfachen:
[mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\cosh(y)} \ dy}=2\cdot{}\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{1}{\cosh(y)} \ dy}[/mm]
Aber wie gesagt, hier kannst du das Integral leicht direkt berechnen
> wrde mich über denkanreize freuen:)
Gruß
schachuzipus
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Also ich erhalte dann ja:
[mm] \limes_{t \to \infty} \integral_{-t}^{t}\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^y+e^{-y}}\, [/mm] dx
was mich zu
[mm] \limes_{t \to \infty} 2*\integral_{-t}^{t}\bruch{1}{(e^y+e^{-y}}\, [/mm] dx
führt.
Kann ich dann bei der Substitution das [mm] e^{-y} [/mm] als [mm] \bruch{1}{e^y} [/mm] schreiben?? [mm] u=e^y
[/mm]
Um dann
[mm] \limes_{t \to \infty} \integral_{-t}^{t}\bruch{1}{u+\bruch{1}{u}}*\bruch{1}{e^y}\, [/mm] du
zu erhalten?? is da schon irgendwas falsch komme irgendwie auf dem weg nicht weiter:(
mfg mathefreak
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich erhalte dann ja:
>
> [mm]\limes_{t \to \infty} \integral_{-t}^{t}\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^y+e^{-y}}\,[/mm]
> dx
>
> was mich zu
>
> [mm]\limes_{t \to \infty} 2*\integral_{-t}^{t}\bruch{1}{(e^y+e^{-y}}\,[/mm]
> dx
>
> führt.
> Kann ich dann bei der Substitution das [mm]e^{-y}[/mm] als
> [mm]\bruch{1}{e^y}[/mm] schreiben?? [mm]u=e^y[/mm]
>
> Um dann
>
> [mm]\limes_{t \to \infty} \integral_{-t}^{t}\bruch{1}{u+\bruch{1}{u}}*\bruch{1}{e^y}\,[/mm]
> du
1. den Bruch [mm] \bruch{1}{e^y} [/mm] kannst Du noch in der Form [mm] \bruch{1}{u} [/mm] schreiben.
2. Beim Substituieren mußt Du die Integrationsgrenzen ebenfalls substituieren
Aus
$ [mm] \limes_{t \to \infty} 2\cdot{}\integral_{-t}^{t}\bruch{1}{(e^y+e^{-y}}\, [/mm] $ dy
wird:
$ [mm] \limes_{t \to \infty} 2\cdot{}\integral_{e^{-t}}^{e^t}\bruch{1}{u^2+1}\, [/mm] $ du
FRED
>
> zu erhalten?? is da schon irgendwas falsch komme irgendwie
> auf dem weg nicht weiter:(
>
> mfg mathefreak
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Dann habe ich doch ein Stammintegral als:
[mm] \bruch{1}{u^2+1}=arctan(u)
[/mm]
Also eine Stammfunktion:
[mm] F(x)=arctan(e^y)???
[/mm]
mit den eingesetzten Grenzen:
[mm] \limes_{t \to \infty} arctan(e^t)-arctan(e^{-t})
[/mm]
Woher weiß ich dann welche werde das Im unendlichen annimmt?? Mus sman das einfach wissen oder wie geht das??
mfg
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Hallo nochmal,
> Dann habe ich doch ein Stammintegral als:
>
> [mm]\bruch{1}{u^2+1}=arctan(u)[/mm]
>
> Also eine Stammfunktion:
>
> [mm]F(x)=arctan(e^y)???[/mm]
>
> mit den eingesetzten Grenzen:
>
> [mm]\limes_{t \to \infty} arctan(e^t)-arctan(e^{-t})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Woher weiß ich dann welche werde das Im unendlichen
> annimmt?? Mus sman das einfach wissen oder wie geht das??
Sollte man kennen, kann man sich aber auch anhand der UKF, also des [mm] $\tan$ [/mm] überlegen. Der (Hauptzweig) lebt zwischen [mm] $-\pi/2$ [/mm] und [mm] $\pi/2$ [/mm] und hat dort Pole ...
[mm]\arctan[/mm] ist stetig, also [mm]\lim\limits_{t\to\infty}\left(\arctan\left(e^t\right)-\arctan\left(e^{-t}\right)\right)=\arctan\left(\lim\limits_{t\to\infty}e^t\right)-\arctan\left(\lim\limits_{t\to\infty}e^{-t}\right)[/mm]
[mm]=\lim\limits_{z\to\infty}\arctan(z)-\arctan(0)=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
> mfg
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