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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{x}{(1+x)^3}\, [/mm] dx |
Hallo nochmal:)
Komme bei folgender Aufgabe leider nur auf:
[mm] \limes_{t \to \infty} \integral_{0}^{t}\bruch{x}{(1+x)^3}\, [/mm] dx
Welche Integrationsmethode würdet ihr empfehlen??
Gibt es irgendwelche Tricks die zu beacten sind??
mfg mathefreak
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Hallo mathefreak,
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\bruch{x}{(1+x)^3}\,[/mm] dx
> Hallo nochmal:)
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> Komme bei folgender Aufgabe leider nur auf:
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> [mm]\limes_{t \to \infty} \integral_{0}^{t}\bruch{x}{(1+x)^3}\,[/mm]
> dx
>
> Welche Integrationsmethode würdet ihr empfehlen??
Gar keine 
>
> Gibt es irgendwelche Tricks die zu beacten sind??
Schätze hier ab!
Teile das Integral auf:
[mm]\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x)^3 \ dx} \ = \ \int\limits_{0}^1{\frac{x}{(1+x)^3} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{x}{(1+x)^3} \ dx}[/mm]
Das hintere Integral kannst du leicht gegen eine konvergente Majorante abschätzen (schaue dir mal [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}[/mm] an), für das erste Integral genügt es zu zeigen, dass der Integrand auf [mm][0,1][/mm] stetig ist. Dann nimmt er dort nämlich sein Maximum an (warum?), und das Integral von 0 bis 1 kann durch einen entsprechenden Rechtecksflächeninhalt abgeschätzt werden. (welchen?)
>
> mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ach so, wer lesen kann ...
Wenn nicht bloß daraum geht, die Konvergenz des Integrals nachzuweisen, sondern seinen Wert auszurechnen, verwende partielle Integration:
[mm]\int{x\cdot{}\frac{1}{(1+x)^3} \ dx}=...[/mm]
Regel: [mm]\int{uv'}=uv-\int{u'v}[/mm]
Hier mit [mm]u=u(x)=x[/mm] und [mm]v'=v'(x)=\frac{1}{(1+x)^3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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<<Das hintere Integral kannst du leicht gegen eine konvergente Majorante abschätzen (schaue dir mal $ [mm] \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx} [/mm] $ an),>>
Also erstmal geht es auch darum das auf Konvergenz zu prüfen und gegebenenfalls zu berechnen:)
Also muss ich wohl beides machen xD
Jetz weiß ich nur nich
1. war es richtig dass es sich bei deinem vorschlag um eine Majorante und nicht um eine Minorante handelt?? Wenn es eine Majorante ist versteh ich nicht wieso [mm] 1/x^2 [/mm] immer größer ist als die ausgangsfunktion:)???
2. wie kann ich die stetigkeit einer funktion nachweisen???
Stetig ist sie doch wenn sie überall definiert is bzw ohne Sprünge was ja nicht vorliegt in dem fall.Ich weiß nur nicht wie ich das aufschreiben bzw beweisen sollte:)
mfg mathefreak
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Hallo nochmal,
> <<das hintere="" integral="" kannst="" du="" leicht="" gegen="" eine="" <br="">> konvergente Majorante abschätzen (schaue dir mal
> [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}[/mm] an),>>
>
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> Also erstmal geht es auch darum das auf Konvergenz zu
> prüfen und gegebenenfalls zu berechnen:)
>
> Also muss ich wohl beides machen xD
Naja, wenn du den Wert konkret ausrechnest, hast du ja die Konvergenz gezeigt, aber es ist ne gute Übung!
>
> Jetz weiß ich nur nich
> 1. war es richtig dass es sich bei deinem vorschlag um eine
> Majorante und nicht um eine Minorante handelt?? Wenn es
> eine Majorante ist versteh ich nicht wieso [mm]1/x^2[/mm] immer
> größer ist als die ausgangsfunktion:)???
Beim zweiten Integral ist [mm]x\ge 1[/mm]
Weiter ist [mm]1+x\ge x[/mm], also auch [mm](1+x)^3\ge x^3[/mm]
Damit [mm]\frac{1}{(1+x)^3}\le\frac{1}{x^3}[/mm]
Also auch [mm]\frac{x}{(1+x)^3}\le\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}[/mm]
Und [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}[/mm] kannst du doch kinderleicht bestimmen.
Damit hast du mit </das>[mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \ dx}[/mm]<das hintere="" integral="" kannst="" du="" leicht="" gegen="" eine="" <br=""> eine konvergente Majorante zu [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{x}{(1+x)^3} \ dx}[/mm]
>
> 2. wie kann ich die stetigkeit einer funktion
> nachweisen???
> Stetig ist sie doch wenn sie überall definiert is bzw
> ohne Sprünge was ja nicht vorliegt in dem fall.Ich weiß
> nur nicht wie ich das aufschreiben bzw beweisen sollte:)
Naja, [mm]\frac{x}{(1+x)^3}[/mm] ist trivialerweise stetig auf [mm][0,1][/mm] als Komposition stetiger Funktionen.
Polstellen gibt es auf [mm][0,1][/mm] nicht, also ist alles harmlos ...
>
>
> mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
</das>
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