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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Di 19.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die Menge A:= [mm] \{ x \in \IN\setminus \{ 0 \} | \mbox{x enthält nicht die Ziffer 9 }\} [/mm] bzw. die natürliche Aufzählung ihrer Elemente nach der Größe A= [mm] \{a_0, a_1, a_2, \ldots \}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{a_n} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
zunächst mal frage ich mich, wie ich überhaupt eine konkrete Darstellung dieser Reihe hinkriege? Im Prinzip ist es ja die harmonische Reihe ohne alle Glieder, bei denen irgendwo im Nenner die Ziffer 9 enthalten ist.
Aber da nicht gesagt ist, dass man die Reihe umordnen kann, ist das subtrahieren anderer Reihen von der harmonischen Reihe, wohl generell nicht erlaubt...
Vielen Dank schon mal im voraus für jeden, der mir hier einen Ansatz liefert.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten Sie die Menge A:= [mm]\{ x \in \IN\setminus \{ 0 \} | \mbox{x enthält nicht die Ziffer 9 }\}[/mm]
> bzw. die natürliche Aufzählung ihrer Elemente nach der
> Größe A= [mm]\{a_0, a_1, a_2, \ldots \}.[/mm] Zeigen Sie, dass die
> Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{a_n}[/mm] konvergiert.
>
> Hallo,
>
> zunächst mal frage ich mich, wie ich überhaupt eine
> konkrete Darstellung dieser Reihe hinkriege? Im Prinzip ist
> es ja die harmonische Reihe ohne alle Glieder, bei denen
> irgendwo im Nenner die Ziffer 9 enthalten ist.
> Aber da nicht gesagt ist, dass man die Reihe umordnen kann,
> ist das subtrahieren anderer Reihen von der harmonischen
> Reihe, wohl generell nicht erlaubt...
>
> Vielen Dank schon mal im voraus für jeden, der mir hier
> einen Ansatz liefert.
ich habe mal gerade gegoogelt. Dieses Ding ist wohl eine
![[]](/images/popup.gif) Kempner-Reihe
Ich muss jetzt selbst mal nachlesen, warum die konvergieren. 
Gruß,
marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hast Du nachgelesen, warum die Kempner-Reihe [mm] $K_0$ [/mm] konvergiert? Das Prinzip
läßt sich vollkommen analog auf Deine Reihe anwenden.
Hinweis: es gibt 8 zulässige einstellige Ziffern, dann $8*9$ zulässige zweistellige,
dann [mm] 8*9^2 [/mm] zulässige 3-stellige usw.
Grund: Für die erste Ziffer kommen die Zahlen aus {1,...,8} in Frage, für jede
weitere eine aus {0,...,9}.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Mi 20.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
jup habs nachgelesen, die Abschätzung is einfach:
(1+ [mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{8})+(\bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{88})+(\bruch{1}{100}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{888})+ \ldots
[/mm]
< (1+1+1+ [mm] \ldots [/mm] + 1) [mm] +(\bruch{1}{10}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{100}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{100}) [/mm] + [mm] \ldots
[/mm]
= 8 + [mm] 8*9*\bruch{1}{10} [/mm] + [mm] 8*9^{2}*\bruch{1}{100} [/mm] + [mm] \ldots
[/mm]
= 8*( 1+ [mm] \bruch{9}{10} [/mm] + [mm] \bruch{9^{2}}{100} +\ldots [/mm] )
= [mm] 8\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{9}{10})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{8}{1-\bruch{9}{10}} [/mm] = 80
Damit ist 80 eine obere Schranke für meine Reihe und einzusehen, dass die Reihe monoton steigend ist, ist nun wahrlich trivial, da jedes Glied der Reihe größer 0 ist...
Vielen Dank nochmals für den Hinweis mit der Kempner-Reihe.
Viele Grüße
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