Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Di 24.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folgen konvergieren und bestimmen Sie den Grenzwert.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}+n^{2}}{\wurzel{4^{n}+3^{n}+2n}}
[/mm]
b) [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n+1}\wurzel{n+3}}{n+2}
[/mm]
c) [mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}Im(c_{n})-iRe(c_{n})}{|c_{n}|+1}, [/mm] mit [mm] c_{0}=2i
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] |Re(c_{n+2})|\le\bruch{1}{2}|Re(c_{n})| [/mm] und [mm] |Im(c_{n+2}|\le\bruch{1}{2}|Im(c_{n})|
[/mm]
d) [mm] d_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
e) [mm] e_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} [/mm] |
Also den Grenzwert hab ich überall außer bei der c):
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1 [/mm] d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d_{n}=0
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=1 [/mm] e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e_{n}=\bruch{1}{2}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=?
[/mm]
Aber wie zeigt man das diese Folgen konvergieren?
Ich hab zwar die Definition: Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] mit der Eigenschaft [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Aber wie wendet man die an?
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Hallo,
poste doch bitte derart viele Aufgaben getrennt in einzelnen threads ...
Sonst wird das sehr schnell sehr unübersichtlich ...
Ich versuche mich mal an einer Teilantwort ...
> Zeigen Sie, dass die Folgen konvergieren und bestimmen Sie
> den Grenzwert.
>
> a) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n}+n^{2}}{\wurzel{4^{n}+3^{n}+2n}}[/mm]
>
> b) [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{n+1}\wurzel{n+3}}{n+2}[/mm]
>
> c) [mm]c_{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}Im(c_{n})-iRe(c_{n})}{|c_{n}|+1},[/mm] mit
> [mm]c_{0}=2i[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie, dass
> [mm]|Re(c_{n+2})|\le\bruch{1}{2}|Re(c_{n})|[/mm] und
> [mm]|Im(c_{n+2}|\le\bruch{1}{2}|Im(c_{n})|[/mm]
>
> d) [mm]d_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> e) [mm]e_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n}[/mm]
> Also den Grenzwert hab ich überall außer bei der c):
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d_{n}=0[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}=1[/mm]
> e)[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e_{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=?[/mm]
>
>
> Aber wie zeigt man das diese Folgen konvergieren?
>
> Ich hab zwar die Definition: Für alle [mm]\varepsilon>0[/mm]
> existiert ein [mm]n_{0}\in\IN[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
> Aber wie
> wendet man die an?
Ich bezweifle, dass du das über die Definition machen sollst.
Es gibt doch extra die netten Grenzwertsätze, die man heranziehen kann ...
Bei a) klammere mal im Nenner unter der Wurzel [mm]4^n[/mm] aus und ziehe es raus; dann in Zähler und Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammern ...
Bei b) analog: Wurzeln multiplizieren, [mm]n^2[/mm] ausklammern und als [mm]n[/mm] rausziehen ...
Bei d) bedenke, dass [mm]\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}\ldots{}\cdot{}(n-1)\cdot{}n}{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}\ldots\cdot{}n\cdot{}n}[/mm]
Finde eine Abschätzung ...
Bei e) erweitere so, dass die dritte binomische Formel entsteht, also mit [mm]\sqrt{n+\sqrt{n}}\red{+}\sqrt n[/mm]
Das ist ein probates Mittel, um Summen bzw. Differenzen von Summen loszuwerden ...
Dann analog zu a),b) weiter ...
c) habe ich mir noch nicht angeschaut ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 24.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
Ich verstehe das Thema Konvergenz nicht sehr gut. Woran sehe ich ob etwas konvergent ist?
zu a) ich weiß nicht genau wie ich da ausklammern soll, ich hab da raus:
[mm] \bruch{2^{n}*(1+\bruch{n^{2}}{2^{n}})}{\wurzel{4^{n}}*\wurzel{1+\bruch{3^{n}}{4^{n}}+\bruch{2n}{4^{n}}}}
[/mm]
zu b) gleiches Problem wie bei der a), ich hab raus:
[mm] \bruch{\wurzel{1+\bruch{4}{n}+\bruch{3}{n^{2}}}}{1+\bruch{2}{n}}
[/mm]
zu d) [mm] d_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3*...*(n-1)*n}{n*n*n*...*n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*1
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0<\bruch{1}{n}<\bruch{2}{n}<\bruch{3}{n}<...<\bruch{n-1}{n}<1
[/mm]
zu e) [mm] e_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}} =\bruch{\wurzel{n+\wurzel{n}}^{2}-\wurzel{n}^{2}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n+\wurzel{n}-n}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*(\wurzel{1+\wurzel{1}}+\wurzel{1})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\wurzel{1}}+\wurzel{1}} [/mm] = [mm] -1+\wurzel{2} \approx [/mm] 0,41
Ist das alles irgendwie ansatzweise richtig? ich finde das sieht zum größten teil falsch aus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 24.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe das Thema Konvergenz nicht sehr gut. Woran
> sehe ich ob etwas konvergent ist?
meistens musst Du andere konvergente Folgen "kennen" (d.h., es wurde
schonmal bewiesen, dass und wogegen gewisse Folgen konvergieren - z.B.
ist [mm] $1/n^k \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - wobei $k > 1$ fest ist) und dann
gelernte Sätze anwenden.
Oft sind auch Abschätzungen hilfreich.
Machen wir zwei kleine Beispiele; gegeben sei die Folge [mm] $(x_n)$:
[/mm]
(a) Die Folge sei durch [mm] $x_n:=1+\frac{1}{n^2}$ [/mm] gegeben.
Falls sie konvergiert: Wogegen konvergiert sie?
Ich benutze nun nur das Vorwissen über die Folge $(1/n)$ und Sätze über konvergente
Folgen:
Es gilt hier [mm] $x_n \to [/mm] 1$. Wir schauen in ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript:
Nach Beispiel 5.3 ist $1/n [mm] \to [/mm] 0$ (immer $n [mm] \to \infty$ [/mm] bei den [mm] $\to$ [/mm] dabeidenken!).
Setze [mm] $a_n:=1/n$ [/mm] und [mm] $b_n:=1/n$ [/mm] für alle [mm] $n\,$; [/mm] dann gilt also
[mm] $a_n \to [/mm] 0$ und [mm] $b_n \to [/mm] 0$
und nach Satz 5.5 (beachte, dass sowohl [mm] $(a_n)$ [/mm] als auch [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergent sind!)
folgt
[mm] $1/n^2=a_n \cdot b_n \to [/mm] 0 [mm] \cdot 0=0\,.$
[/mm]
Nun setze [mm] $\tilde{a}_n:=1$ [/mm] und [mm] $\tilde{b}_n:=1/n^2$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Wieder mit Satz 5.5 (beachte, dass [mm] $(\tilde{a}_n)$ [/mm] "offensichtlich" konvergent ist
und zwar gegen 1!)
[mm] $\tilde{a}_n+\tilde{b}_n \to 1+0=1\,.$
[/mm]
Nun ist aber
[mm] $x_n=\tilde{a}_n+\tilde{b}_n$ [/mm] (für alle $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
gewesen, also...?
(b) Wir betrachten [mm] $x_n:=1+(-1)^n [/mm] *2$. Ich zeige, dass diese Folge divergiert:
Offensichtlich gilt [mm] $x_{n}=2$ [/mm] für alle geraden [mm] $n\,$. [/mm] (Beweis? Tipp: Ist [mm] $n\,$ [/mm] gerade,
so gibt es ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n=2m\,$).
[/mm]
Daraus folgt, dass, falls [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert, so muss [mm] $x_n \to [/mm] 2$ gelten. (Warum?)
Nun ist aber
[mm] $|x_n-2|=|1+(-1)^n*2-2|=|-1+(-1)^n|$
[/mm]
für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Was steht für ungerade [mm] $n\,$ [/mm] nun da?
(c) Betrachten wir
[mm] $x_n:=\frac{n^{3/2}+5n^3}{3n^4+5n^5}$
[/mm]
Ich behaupte [mm] $x_n \to [/mm] 0$.
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
$0 [mm] \le x_n=\frac{n^{3/2}+5n^3}{3n^4+5n^5} \le \frac{6n^3}{3n^4+5n^5} \le \frac{6n^3}{3n^4}=2*\frac{1}{n}$
[/mm]
Mit Satz 5.5 und Beispiel 5.3 folgt $2*1/n [mm] \to [/mm] 0$. Das Einschließkriterium (Satz 5.7)
liefert sodann [mm] $x_n \to [/mm] 0.$
(Hinweis: Ich habe in meiner Rechnung hier eigentlich nicht die *richtigen*
Voraussetzungen nachgerechnet, dort steht ja [mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] < [mm] c_n\,.$ [/mm] Das Ganze
funktioniert dennoch.
Solltest Du aber unbedingt wollen, dass das alles zu der Formulierung aus
Satz 5.7 passt, dann zeige etwa
$-1/n < [mm] x_n [/mm] < [mm] 3*\frac{1}{n}$
[/mm]
oder *schau' in meiner obigen Rechnung, wo wir [mm] $\le$ [/mm] "sogar" durch [mm] $<\,$ [/mm] ersetzen
dürfen*).
Ansonsten schau' auch mal im Skript oder hier im Forum, da gibt es einige
gerechnete Beispiele.
Aber Vorsicht - es gibt durchaus Situationen, wo man mehr Wissen als das
oben benötigte braucht.
Bspw.: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert
(und im Falle der Konvergenz konvergiert auch jede Teilfolge gegen den
gleichen Wert).
Etwa mit diesem Satz (und Bsp. 5.13) kann man schnell beweisen, dass [mm] $(1+(-1)^n(1+1/n)^n)$ [/mm] eine
divergente Folge sein muss.
Und man darf die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht *missbrauchen*:
Bei
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n^3}$
[/mm]
kann ich nicht
$ [mm] \frac{\lim_{n \to \infty} n^2}{\lim_{n \to \infty}(n^2+n^3)}$
[/mm]
schreiben - warum nicht? Gilt Satz 5.5c doch nicht - oder missachte ich
vielleicht eine Voraussetzung?
(Hinweis: Konvergent gegen [mm] $a\,$ [/mm] heißt dort "konvergent gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$)".)
[/mm]
Und wenn ich
[mm] $\lim_{n \to \infty}(1+(-1)^n*(1/n))=(\lim_{n \to \infty}1)+\lim_{n \to \infty}((-1)^n*(1/n))=(\lim_{n \to \infty}1)+(\lim_{n \to \infty}(-1)^n)*(\underbrace{\lim_{n \to \infty}1/n}_{=0})=1+0=1$
[/mm]
schreibe, stimmt zwar mein Ergebnis - aber da ist ein Fehler drin. Wo?
Wo wir gerade dabei sind: Beschränkte Folge mal Nullfolge ist Nullfolge. 
Nebenbei:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n^3}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}= \frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n})+(\lim_{n \to \infty} 1)}=\frac{0}{0+1}=0$
[/mm]
darfst Du wiederum genauso rechnen und schreiben.
Tipp: Begründe das, indem Du Satz 5.5 und Beispiel 5.3 anwendest und von
rechts nach links die Gleichheiten begründest.
$0=0/(0+1)$ ist offensichtlich wahr. Wegen $1/n [mm] \to [/mm] 0$ (Bsp. 5.3) und $1 [mm] \to [/mm] 1$ folgt
[mm] $\frac{\lim_{n \to \infty}1/n}{(\lim_{n \to \infty}1/n)+(\lim_{n \to \infty}1)}$
[/mm]
Im Nenner kannst Du nun Satz 5.5 anwenden (da [mm] $(1)\,$ [/mm] und [mm] $(1/n)\,$ [/mm] konvergent sind), also...
(Worauf ich hier hinaus will: Oft ist es typisch, dass man *von links nach
rechts #salopp# rechnet*, aber erst beim Lesen von rechts nach links
kann man begründen, dass das, was man gerechnet hat, auch so gerechnet
werden durfte!)
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal,
um auf deine Frage einzugehen:
> Ich verstehe das Thema Konvergenz nicht sehr gut. Woran
> sehe ich ob etwas konvergent ist?
>
>
> zu a) ich weiß nicht genau wie ich da ausklammern soll,
> ich hab da raus:
>
> [mm]\bruch{2^{n}*(1+\bruch{n^{2}}{2^{n}})}{\wurzel{4^{n}}*\wurzel{1+\bruch{3^{n}}{4^{n}}+\bruch{2n}{4^{n}}}}[/mm]
Nun ist [mm]4^n=\left(2^n\right)^2[/mm], also [mm]%25255Csqrt%25257B4%25255En%25257D%25253D2%25255En[/mm][mm]\sqrt{4^n}=2^n[/mm]
Das kann man also kürzen. Danach [mm]n\to\infty[/mm] - was passiert?
>
>
> zu b) gleiches Problem wie bei der a), ich hab raus:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{1+\bruch{4}{n}+\bruch{3}{n^{2}}}}{1+\bruch{2}{n}}[/mm]
Nun den Grenzprozess.
Was passiert?
Das strebt gegen [mm]\frac{\sqrt{1+0+0}}{1+0}=1[/mm]
>
>
> zu d) [mm]d_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1*2*3*...*(n-1)*n}{n*n*n*...*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n}{n}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n-1}{n}*1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0<\bruch{1}{n}<\bruch{2}{n}<\bruch{3}{n}<...<\bruch{n-1}{n}<1[/mm]
Das hilft nix. Du willst ja das Sandwichlemma anwenden, musst deine Folge also zwischen zwei Folgen einquetschen, die beide denselben GW haben.
Linke Seite [mm]0\le ..[/mm] ist ne gute Idee!
Rechterhand brauchst du auch eine Nullfolge.
Beachte, dass in dem ausgeschriebenen Produkt die Faktoren [mm]\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots{}\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}[/mm] alle [mm]\leq 1[/mm] sind.
Also [mm]\frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}[/mm]
Insgesamt [mm]0\leq \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}[/mm]
Nun [mm] $n\to\infty$ [/mm] (Sandwichlemma)
>
>
> zu e) [mm]e_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}} =\bruch{\wurzel{n+\wurzel{n}}^{2}-\wurzel{n}^{2}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n+\wurzel{n}-n}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]%2525255Cbruch%2525257B%2525255Cwurzel%2525257Bn%2525257D%2525257D%2525257B%2525255Cwurzel%2525257Bn%2525252B%2525255Cwurzel%2525257Bn%2525257D%2525257D%2525252B%2525255Cwurzel%2525257Bn%2525257D%2525257D[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*(\wurzel{1+\wurzel{1}}+\wurzel{1})}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du klammerst ja unter der Wurzel n aus, das muss also im Nenner heißen
[mm]\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n} \ = \ \sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{\sqrt{n}}{n}\right)}+\sqrt{n} \ = \ \sqrt{n}\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt n}}+\sqrt{n}[/mm]
[mm]=\sqrt{n}\cdot{}\left[ \ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+1 \ \right][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\wurzel{1}}+\wurzel{1}}[/mm] =
> [mm]-1+\wurzel{2} \approx[/mm] 0,41
>
> Ist das alles irgendwie ansatzweise richtig? ich finde das
> sieht zum größten teil falsch aus
Im Gegenteil, ist doch schon ganz gut ...
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=?[/mm]
du hast doch sogar einen Hinweis dazu gepostet. Wieso wendest du den nicht an?
> Hinweis: Zeigen Sie, dass
> [mm]|Re(c_{n+2})|\le\bruch{1}{2}|Re(c_{n})|[/mm] und
> [mm]|Im(c_{n+2}|\le\bruch{1}{2}|Im(c_{n})|[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 24.11.2015 | | Autor: | Anmahi |
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> du hast doch sogar einen Hinweis dazu gepostet. Wieso
> wendest du den nicht an?
>
> > Hinweis: Zeigen Sie, dass
> > [mm]|Re(c_{n+2})|\le\bruch{1}{2}|Re(c_{n})|[/mm] und
> > [mm]|Im(c_{n+2}|\le\bruch{1}{2}|Im(c_{n})|[/mm]
>
ich weiß nicht wie ich den anwenden soll
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