Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 27.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab hier eine Aufgabe in der ich beweisen soll dass eine Folge [mm] (z_{n} )_{1}^{\infty} [/mm] genau dann gegen z [mm] \in \IC [/mm] konvergiert, wenn gilt:
Rez{n} ->Rez für n -> [mm] \infty [/mm]
und [mm] Imz_{n} [/mm] -> Imz für n -> [mm] \infty.
[/mm]
Also was damit gemeint ist versteh ich und find ich auch ganz logisch...
Nur ich weiß net so richtig wie ich anfangen soll.
Rez{n} ->Rez heißt ja [mm] a_{n} [/mm] -> a
[mm] Imz_{n} [/mm] -> Imz heißt [mm] b_{n} [/mm] -> b
Also gilt [mm] |z_{n} [/mm] - z | < epsilon gdw [mm] |a_{n} [/mm] - a | < epsilon
und [mm] |b_{n} [/mm] - b | < epsilon
[mm] |z_{n} [/mm] - z | < epsilon ist ja das gleiche wie
[mm] |(a+ib)_{n} [/mm] - (a+ib) | < epsilon
Ich hab jetzt aber keine Ahnung mehr wie ich weiter machen könnte... Ne kleine Hilfe wär da ganz nützlich ...
Gruß Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 27.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Der "Rückweg" aus [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] \ = \ b$ [mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow}z_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+i*b_n) [/mm] \ = \ a+i*b \ = \ z$ folgt ja fast unmittelbar aus den Grenzwertsätzen.
Hier zum "Hinweg", denn Du ja schon richtig begonnen hast:
[mm] $\left| \ z_n-z \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(a_n+i*b_n\right) - (a+i*b) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(a_n - a\right) + \left(i*b_n-i*b\right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(a_n - a\right) + i*\left(b_n-b\right) \ \right|$
[/mm]
[mm] $\red{\le} [/mm] \ [mm] \left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ + \ [mm] \left| \ i*\left(b_n-b\right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ + \ [mm] \left| \ i \ \right| [/mm] * [mm] \left| \ b_n-b \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ + \ 1 * [mm] \left| \ b_n-b \ \right|$
[/mm]
Schaffst Du den Rest nun selber?
Gruß
Loddar
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