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Hallo allerseits,
folgende Aufgabe versuche ich zu lösen:
[mm] y_{n}= \wurzel{n+ \wurzel{n}}- \wurzel{n}, [/mm] für n<1000 ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}= \bruch{1}{2}
[/mm]
dabei habe ich Folgendes getan: Setze [mm] n=a^{2}, [/mm] wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}, [/mm] dann auch [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}
[/mm]
also gilt:
[mm] y_{a}= \bruch{a}{ \wurzel{a^{2}+a}-a}, [/mm] um den Grenzwert auszurechnen, rechne ich nun weiter mit:
[mm] |\bruch{a}{ \wurzel{a^{2}+a}-a}- \bruch{1}{2}|= |\bruch{a-\wurzel{a^{2}+a}}{2\wurzel{a^{2}+a}-a}|< [/mm] | [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] |a- [mm] \wurzel{a^{2}+a}| [/mm]
ich komme leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen bitte???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 01.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hab-ne-frage!
> [mm]y_{a}= \bruch{a}{ \wurzel{a^{2}+a}-a}[/mm]
Wie kommst Du denn auf diesen Ausdruck?
Nach der Substitution erhalten wir doch:
[mm] $y_a [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2+\wurzel{a^2}}-\wurzel{a^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2+a}-a$
[/mm]
Nun erweitern wir diesen Ausdruck mit [mm] $\wurzel{a^2+a} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ a$ und erhalten:
[mm] $y_a [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{\wurzel{a^2+a}+a}$
[/mm]
Nun im Nenner $a_$ ausklammern und anschließend kürzen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für deine Antwort. Das war leider ein Tippfehler von mir.
Kannst du mir sagen, wie ich a im Nenner ausklammern kann, wenn es unter einer Wurzel steht?
[mm] y_a [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{a^2+a}+a}, [/mm] außerdem muss ich doch zeigen, dass diese Folge gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
D.h. [mm] |\bruch{a}{\wurzel{a^2+a}+a}- \bruch{1}{2}| [/mm] hiermit habe ich Schwierigkeiten. Ich habe diesen Ausdruck gleichnamig gemacht und komme leider nicht vorwärts.
Vielen Danke,
hab-ne-frage
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 01.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
[mm] $\wurzel{a^2+a} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2*\left(1+\bruch{1}{a}\right) \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a^2}*\wurzel{1+\bruch{1}{a}} [/mm] \ = \ [mm] a*\wurzel{1+\bruch{1}{a}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hey Loddar,
ich möchte dir zwar nicht auf die Nerven gehen, aber ich komme leider nicht voran:
Ich versuche nun die Konvergenz der Folge [mm] y_a [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu bestimmen:
z.z.: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:
[mm] |y_{a}-\bruch{1}{2}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{ \wurzel{1+ \bruch{1}{a}}+a}- \bruch{1}{2}| [/mm] = | [mm] \bruch{1- \wurzel{1+ \bruch{1}{a}}}{2( \wurzel{1+ \bruch{1}{a}}+1)}|
[/mm]
weiter komme ich leider nicht :( SORRY!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 01.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Du hast da leider einen Rechenfehler eingebaut.
Es muss nach dem Kürzen durch $a_$ heißen:
[mm]\left|y_{a}-\bruch{1}{2}\right| \ = \ \left|\bruch{1}{\wurzel{1+ \bruch{1}{a}}+ \ \red{1}}-\bruch{1}{2}\right| \ = \ ...[/mm]
Klappt's nun?
Gruß
Loddar
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Hey Loddar,
wenn du dir den letzten Bruch anschaust, erkennst du vielleicht, dass das nur ein Tippfehler von mir war. Tut mir leid. Ich komme nicht voran :(
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Hallo,
wer kann mir denn bitte sage, wie das hier weitergeht:
[mm] \left|y_{a}-\bruch{1}{2}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{1}{\wurzel{1+ \bruch{1}{a}}+1}-\bruch{1}{2}\right| [/mm] = ...
Hilfe, Hilfe, Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Sa 03.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo hab-ne-frage!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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