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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Do 05.10.2006 | | Autor: | Cutie |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n) [/mm] sei gegeben durch [mm] a_1=2, a_n_+_1=1/2*(a_n+1/a_n) [/mm] n e N.
a) Zeige, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Zeige unter anderem, dass 1<= [mm] a_n [/mm] für alle n e N gilt.
b) Bestimme den Grenzwert von [mm] (a_n). [/mm] |
Hi, komme mit der Aufgabe nicht klar.
Wäre sehr nett, wenn mir es jemand erklären würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Do 05.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Cutie,
als erstes kann man zeigen das die Folge [mm] a_n \ge [/mm] 1 ist.
Weil
0 [mm] \le (a_n-1)^2=a_n^2-2*a_n+1 \Rightarrow
[/mm]
[mm] 2*a_n\le a_n^2+1, [/mm] und weil [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}*\bruch{a_n^2+1}{a_n} [/mm] gilt [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] a_{n+1}\ge \bruch{1}{2}*\bruch{2*a_n}{a_n}=1
[/mm]
Als Zweites zeigt man das die Folge monoton fallend ist.
Aus [mm] a_n \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow a_n^2 \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow a_n \ge \bruch{1}{2}*\bruch{1+a_n^2}{a_n}=a_{n+1}
[/mm]
Daraus folgt das die Folge konvergent ist (beschränkt und monoton fallend)
Der Grenzwert berechnet sich wie folgt
Sei [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
dann gilt für den Grenzwert [mm] a=\bruch{1}{2}*\bruch{1+a^2}{a}
[/mm]
auflösen nach a und berücksichtigen das a [mm] \ge [/mm] 1 gilt ergibt als Grenzwert a = 1
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Cutie |
Hi ullim,
danke für deine Hilfe, hat mir echt geholfen.
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