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Konvergenz: Limes bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Fr 01.12.2006
Autor: Pacapear

Guten morgen zusammen!

Ich muss zu diesem Bruch hier den Limes bestimmen:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z} [/mm]

Ich nehme mal an, das z aus den reellen Zahlen ist, auf unserem Aufgabeblatt steht da nix zu.

Ich hab leider keine idee, wie ich diese Aufgabe angehen könnte. Wäre sehr dankbar für einen Tipp.

LG, Nadine

        
Bezug
Konvergenz: de l'Hospital?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Fr 01.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Nadine!


Wenn $z_$ also unabhängig ist von $n_$ kannst Du schreiben:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z} \ = \ \bruch{1}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{2n+1}}{n+1}[/mm]


Und für den Bruch kannst Du MB|de l'Hospital anwenden.


Oder ist das eine Teilaufgabe aus einer Reihenaufgabe? Dann würde ich hier eher mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium vorgehen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Sa 02.12.2006
Autor: Pacapear

Hallo Loddar.

Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ja, der Bruch ist quasi eine Teilaufgabe aus einer Reihenaufgabe.
Die Aufgabe lautet wie folgt:



> Man bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n [/mm]



Ich habe die Reihe zunächst einmal aufgeschrieben:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n [/mm] = [mm] \bruch{0!}{2^0}*z^0+\bruch{1!}{2^1}*z^1+\ldots+\underbrace{\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n}_{=a_n}+\underbrace{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}*z^{n+1}}_{=a_{n+1}}+\ldots [/mm]



So, die Formel für den Konvergenzradius ist ja: [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm]



Nun hab ich einfach [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] eingesetzt und umgeformt:

[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{n!}{2^{n^2}}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}*z^{n+1}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{n!*z^n}{2^{n^2}}}{\bruch{(n+1)!*z^{n+1}}{2^{(n+1)^2}}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n!*z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*(n+1)!*z^{n+1}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n!*z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*n!*(n+1)*z^{n+1}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{z^n*2^{(n+1}^2}{2^{n^2}*(n+1)*z^{n+1}}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{z^n*2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}*(n+1)*z^n*z}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}*(n+1)*z}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{n^2}*2^{2n}*2}{2^{n^2}*(n+1)*z}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}*2}{(n+1)*z}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z}| [/mm]



Hmm, hier würd ich nun aber nicht mehr das Quotientenkriterium anwenden, das nehm ich doch nur, um zu prüfen, ob eine Reihe konvergent ist. Das ist doch hier aber garnicht der Fall, oder? Dann vielleicht doch l'Hopital?

LG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: ohne z^n
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Sa 02.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Nadine!


Zum einen musst du weder beim Quotientenkriterium noch bei der Ermittlung des Konvergenzradius' die Variable [mm] $z^n$ [/mm] der Potenzreihe berücksichtigen, sondern lediglich die Koeffizientenfolge [mm] $a_n$ [/mm] bei [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n*z^n$ [/mm] .

Damit verbleibt für den Konvergenzradius am Ende der Zusammenfassungen:

$R \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{2n+1}}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4^n}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm]

Dass dieser Grenzwert ins Unendliche wächst, kannst Du nun entweder zeigen, dass dieser Ausdruck über alle Grenzen wächst.
Oder aber wir oben bereits angedeutet mittels MBde l'Hospital ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz: l'Hôpital
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 So 03.12.2006
Autor: Pacapear

Hallo Loddar.

Warum kann ich denn das [mm] z^n [/mm] einfach ignorieren? Es steht doch auch in der Summe und ist vom Index n abhängig?

Zum Bruch:
Ich hab nun mal versucht, den Limes über l'Hôpital zu bestimmen (im Moment ist das z noch drin):

[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n+1}}{(n+1)*z}| [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}*2}{(n+1)*z}| [/mm]

[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2^{2n}}{n+1}| [/mm]

[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{n+1}| [/mm]

Für [mm] n\to\infty [/mm] geht ja nun [mm] 2^{2n} [/mm] gegen Unendlich und auch n+1. Also kann ich ja nun den l'Hôpital anwenden:

[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{n}| [/mm]

Wieder gehen Zähler und Nenner für [mm] n\to\infty [/mm] nach Unendlich, also nochmal l'Hôpital:

[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{1}| [/mm]

[mm] =\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|4^n| [/mm]

[mm] =\bruch{2}{z}*\infty [/mm]

[mm] =\infty [/mm]



Ist das die Lösung, und der Konvergenzradius ist Unendlich?

Ach ja, noch eine Frage: Ab wo kann ich denn dann das z ignorieren und mit welcher Begründung, und ab wann kann ich die Betragsstriche eigentlich weglassen?

LG, Nadine

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 So 03.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Nadine!


In []Potenzreihen der Darstellung [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n$ [/mm] wird bei der Ermittlung des Konvergenzradius' stets nur die Koeffizientenfolge [mm] $a_n$ [/mm] berücksichtigt.

[mm] $\rightarrow$[/mm]   []Potenzreihe   oder   []Konvergenzradius (auf Seite 2)

Aufpassen muss man allerdings, wenn z.B. [mm] $z^{2n}$ [/mm]  da steht. Dann muss man den ermittelten Konvergenzradius noch entsprechend anpassen.

Bei [mm] $z^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \left(z^n\right)^2$ [/mm] ist der endgültige Konvergenzradius dann $R' \ = \ [mm] \wurzel[2]{R}$ [/mm] .


> Für [mm]n\to\infty[/mm] geht ja nun [mm]2^{2n}[/mm] gegen Unendlich und auch
> n+1. Also kann ich ja nun den l'Hôpital anwenden:
>  
> [mm]=\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{n}|[/mm]

[notok] Hier hast Du in Zähler und Nenner aber nicht korrekt abgeleitet:

[mm]=\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\ln(4)*4^n}{1}\right|[/mm]

  

> Wieder gehen Zähler und Nenner für [mm]n\to\infty[/mm] nach
> Unendlich, also nochmal l'Hôpital:

Dieser 2. Schritt ist dann überflüssig.

  

> [mm]=\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{4^n}{1}|[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{z}*\limes_{n\rightarrow\infty}|4^n|[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{z}*\infty[/mm]
> [mm]=\infty[/mm]
>
> Ist das die Lösung, und der Konvergenzradius ist
> Unendlich?

[ok] Yo!

  

> Ach ja, noch eine Frage: Ab wo kann ich denn dann das z
> ignorieren und mit welcher Begründung, und ab wann kann ich
> die Betragsstriche eigentlich weglassen?

Wenn klar ist, dass innerhalb der Betragsstriche nur noch positive Terme auftreten.


Gruß
Loddar


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