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| Aufgabe | Man bestimme, für welche x die folgenden Reihen konvergieren:
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{2n-1} (-1)^{n+1} [/mm] $
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-x)^{n-1}}{n} [/mm] $ |
Hallo!
Ich kenn (so glaub ich zumindest) das Minorantenkriterium, das Majorantenkriterium, das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
Die gegebenen Ausdrücke erscheinen mir jedoch zu kompliziert um diese Kriterien anzuwenden. Außerdem hatte ich bis jetzt noch kein Beispiel mit einer Potenzreihe gesehen. Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Wenn Du die beiden Reihen mal umschreibst, sollte es mit dem Quotientenkriterium schnell machbar sein.
Zudem solltest Du bei diesen alternierenden Reihen auch mal an den Herrn Leibniz mit "seinem" Kriterium denken.
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{2n-1}* (-1)^{n+1} \ = \ -\bruch{1}{x}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n-1}*\left(x^2\right)^n[/mm]
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-x)^{n-1}}{n} \ = \ -\bruch{1}{x}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}*x^n[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke! Ich weiß zwar noch immer nicht, was ich damit anfange, aber ich werde mich mal über das Leibniz-Kriterium schlau machen.
Gibt es eigentlich Reihen, bei denen ich nicht mehr beweisen muss, dass sie konvergieren, also dann für die anderen Kriterien benutzen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 26.03.2007 | | Autor: | choosy |
> Danke! Ich weiß zwar noch immer nicht, was ich damit
> anfange, aber ich werde mich mal über das Leibniz-Kriterium
> schlau machen.
Das ist hier eine gute Idee :)
>
> Gibt es eigentlich Reihen, bei denen ich nicht mehr
> beweisen muss, dass sie konvergieren, also dann für die
> anderen Kriterien benutzen kann?
Prinzipiell NEIN!!!
du kannst wohl davon ausgehen, das die "Reihe über 0" konvergiert, was streng genommen auch zu beweisen wäre....
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Ist bei dieser Folge $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{2n-1}\cdot{} (-1)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n-1}\cdot{}\left(x^2\right)^n [/mm] $ eigentlich der Koeffiziente [mm] a_k [/mm] = $ [mm] \bruch{(-1)^n}{2n-1} [/mm] $ ???
Danke!
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Hallo zusammen,
ich mag mich irren, aber die beiden Reihen sehen mir stark nach Potenzreihen aus und die Aufgabe scheint mir darin zu bestehen, den Konvergenzradius zu bestimmen:
Also zu ersten Reihe würde ich mal Cauchy-Hadamard befragen:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{2n-1} (-1)^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2n-1}x^{2n-1}
[/mm]
Also berechne mal [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[2n-1]{\left| \bruch{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[2n-1]{\bruch{1}{2n-1}}=1
[/mm]
denn [mm] \wurzel[k]{k}\rightarrow [/mm] 1 für [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
Also konvergiert die erste Reihe für |x|<1 und divergiert für |x|>1
Für [mm] x=\pm [/mm] 1 muss man per Hand untersuchen
(a) x=1 [mm] \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{2n-1} (-1)^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1^{2n-1}}{2n-1} (-1)^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2n-1} [/mm]
Da [mm] \left(\bruch{1}{2n-1}\right)_n [/mm] monoton fallende Nullfolge ist, kovergiert das Ding nach Leibniz
(b) x=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] ....
Für die zweite Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-x)^{n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n-1}}{n}x^{n-1}
[/mm]
berechne [mm] R:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n-1]{\left|\bruch{(-1)^{n-1}}{n}\right|}
[/mm]
Dann ist der Kgz.radius [mm] \bruch{1}{R} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{0}=\infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{\infty}=0
[/mm]
usw.
Ich hoffe, ich liege hier nicht völlig daneben 
Gruß
schachuzipus
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OK, ich habe mich jetzt nochmal mit der Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-x)^{n-1}}{n} [/mm] beschäftigt und wenn ich den Quotienten [mm] \lim_{n \to \infty}$ \left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right| [/mm] $ berechne bekomme ich als Ergebnis $ [mm] \left| x \right| [/mm] $. Kann ich daraus jetzt eigentlich irgendetwas ablesen?
Ich mein ich es ist mir schon klar, dass diese Reihe für x=1 die alternierende harmonische Reihe ist und konvergiert und für x=-1 die harmonische Reihe ist und divergiert, aber was mache ich mit dem Ergebnis?
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> OK, ich habe mich jetzt nochmal mit der Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-x)^{n-1}}{n}[/mm] beschäftigt und
> wenn ich den Quotienten [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] [mm]\left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right|[/mm]
> berechne bekomme ich als Ergebnis [mm]\left| x \right| [/mm]. Kann
> ich daraus jetzt eigentlich irgendetwas ablesen?
Hallo,
ja, das liefert Du folgende Informationen:
Für [mm] |x|={\bruch{a_{n+1}}{a_n}}<1 [/mm] konvergiert die Reihe.
Für [mm] |x|={\bruch{a_{n+1}}{a_n}}>1 [/mm] divergiert die Reihe.
Für |x|=1 erhältst Du keine Informationen. Da mußt Du gesonderte Untersuchungen durchführen, oder Dein Vorwissen bemühen:
>
> Ich mein ich es ist mir schon klar, dass diese Reihe für
> x=1 die alternierende harmonische Reihe ist und konvergiert
> und für x=-1 die harmonische Reihe ist und divergiert
Gruß v. Angela
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