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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge [mm] a_n=\bruch{2n}{n-1} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert! |
Einen wunderschönen Guten Abend,
Konvergenz bedeutet ja, die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt oder monoton fallend und nach unten beschränkt, ich habe die Vermutung, monton fallend, nach unten beschränkt (2) also
[mm] \bruch{a_n_+_1}{a_n} [/mm] < 1
[mm] \bruch{\bruch{2(n+1)}{n+1-1}}{\bruch{2n}{n-1}} [/mm] < 1
[mm] \bruch{2(n+1)(n-1)}{2n^{2}} [/mm] < 1
[mm] \bruch{2(n^{2}-1)}{2n^{2}} [/mm] < 1
[mm] \bruch{n^{2}-1}{n^{2}} [/mm] < 1
1 - [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] < 1 wahre Aussage, habe ich damit den Nachweis, monoton fallend erbracht?
Vermutung Grenzwert ist 2
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n-1} [/mm] = 2, ich habe aber große n eingesetzt, um auf 2 zu kommen, kann mir bitte jemand einen Hinweis geben, wie ich es "richtig" berechnen kann?
Ich sehe den Term [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] als Nullfolge, kann ich damit etwas anfangen?
Zwinkerlippe
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> Untersuchen Sie die Folge [mm]a_n=\bruch{2n}{n-1}[/mm] auf
> Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert!
> Einen wunderschönen Guten Abend,
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> Konvergenz bedeutet ja, die Folge ist monoton steigend und
> nach oben beschränkt oder monoton fallend und nach unten
> beschränkt, ich habe die Vermutung, monton fallend, nach
> unten beschränkt (2) also
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> [mm]\bruch{a_n_+_1}{a_n}[/mm] < 1
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> [mm]\bruch{\bruch{2(n+1)}{n+1-1}}{\bruch{2n}{n-1}}[/mm] < 1
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> [mm]\bruch{2(n+1)(n-1)}{2n^{2}}[/mm] < 1
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> [mm]\bruch{2(n^{2}-1)}{2n^{2}}[/mm] < 1
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> [mm]\bruch{n^{2}-1}{n^{2}}[/mm] < 1
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> 1 - [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] < 1 wahre Aussage, habe ich damit den
> Nachweis, monoton fallend erbracht?
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> Vermutung Grenzwert ist 2
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n}{n-1}[/mm] = 2, ich habe
> aber große n eingesetzt, um auf 2 zu kommen, kann mir bitte
> jemand einen Hinweis geben, wie ich es "richtig" berechnen
> kann?
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> Ich sehe den Term [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] als Nullfolge, kann ich
> damit etwas anfangen?
Ich denke, man würde in einem solchen Fall (rationale Funktion des Folgenindex) die Grenzwertebestimmung (ganz ohne Monotoniefragen) in der Regel so machen:
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n}{n-1} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{1-\frac{1}{n}} = \frac{2}{1-\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}} =\frac{2}{1-0}=2[/mm]
Aber es kann natürlich sein, dass man von Dir einen anderen Weg erwartet. Zum Beispiel, dass Du den Greznhwert 2 "errätst" und dann zeigst, dass es sich tatsächlich um den Grenzwert handelt. Etwa so:
[mm]|a_n-2|= \big|\frac{2n}{n-1}-2\big| = \big|\frac{2n-2(n-1)}{n-1}\big| = \big|\frac{2}{n-1}\big| \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
Die Monotonie einer Folge zu verwenden, um die Existenz des Grenzwerts zu sichern, kann nützlich sein (z.B. hat also jede monoton-wachsende und nach oben beschränkte, bzw. jede monoton-fallende und nach unten beschränkte Folge einen Grenzwert in [mm]\IR[/mm]). Aber wenn man den Grenzwert kennt (aus welchen Gründen auch immer), dann kann man auf einen Rückgriff auf Monotonie in der Regel verzichten (und so auch hier).
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