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Konvergenz: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Do 11.09.2008
Autor: freshstyle

Aufgabe 1
$ [mm] a_{n+1}= [/mm] 1 + 1 / [mm] a_{n} [/mm] $ wobei $ n [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] a_{0}= [/mm] 1/2 $
Zeige das die oben rekursiv definierte Folge konvergiert gegen $ (1 + sqrt{5})/5 $.

Aufgabe 2
$ [mm] z_{n}= (2-z_{n-1})*z_{n-1} [/mm] $ wobei $ n [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] z_{0}= [/mm] 1/2 $
Zeige das die oben rekursiv definierte Folge gilt: $ 0 < [mm] z_{n}<1 [/mm] $ und monoton wachsend. (also konvergent)

Hallo
Bei der ersten Aufgabe ich folgendes vermutung herausbekommen.
$ [mm] a_0 \le a_2 \le a_4 \le [/mm] ... [mm] a_{2*k} \le a_{2*k+2} [/mm] $ und
$         [mm] a_{2*k + 3} \le a_{2*k+1} a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm]     $ für $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] $

Leider kann ich diese Vermutung nicht mittels Voll. Induktion beweisen.
Bei der zweiten will mir leider nichts gelingen, ich hoffe ihr habt ein paar Tipps.
Danke freshstyle

        
Bezug
Konvergenz: Idee zu (2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Do 11.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Dennis,

> [mm]a_{n+1}= 1 + 1 / a_{n}[/mm] wobei [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]a_{0}= 1/2[/mm]
> Zeige das die oben rekursiv definierte Folge konvergiert
> gegen [mm](1 + sqrt{5})/5 [/mm].
>  [mm]z_{n}= (2-z_{n-1})*z_{n-1}[/mm] wobei [mm]n \in \IN[/mm]
> und [mm]z_{0}= 1/2[/mm]
> Zeige das die oben rekursiv definierte Folge gilt: [mm]0 < z_{n}<1[/mm]
> und monoton wachsend. (also konvergent)
>  Hallo
>  Bei der ersten Aufgabe ich folgendes vermutung
> herausbekommen.
>  [mm]a_0 \le a_2 \le a_4 \le ... a_{2*k} \le a_{2*k+2}[/mm] und
>  [mm]a_{2*k + 3} \le a_{2*k+1} a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm] für
> [mm]\forall k \in \IN[/mm]
>  
> Leider kann ich diese Vermutung nicht mittels Voll.
> Induktion beweisen.
>  Bei der zweiten will mir leider nichts gelingen, ich hoffe
> ihr habt ein paar Tipps.

Wenn du gezeigt hast, dass [mm] $\foall n\in\IN: [/mm] \ [mm] 0
Dann habe ich mal ein bissl rumprobiert an der Induktion für [mm] $0
(1) [mm] $z_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm]

(2) [mm] $z_n<1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm]

Dabei ist (2) doch ziemlich simpel, oder?

IA ist klar, IS [mm] $n\to [/mm] n+1$

IV: [mm] $0
Dann ist zz: [mm] $z_{n+1}<1$ [/mm]

[mm] $\gdw (2-z_n)z_n<1$ [/mm]

[mm] $\gdw -z_n^2+2z_n<1$ [/mm]

[mm] $\gdw 0
[mm] $\gdw 0<(z_n-1)^2$ [/mm]

was offensichtlich wegen der IV [mm] ($0
(2)

IA ist wieder klar, IV wie oben

Dann ist zz: [mm] $z_{n+1}>0$ [/mm]

[mm] $\gdw -z_n^2+2z_n>0$ [/mm]

[mm] $\gdw 0>z_n^2-2z_n$ [/mm]

[mm] $\gdw 0>z_n^2-2z_n\blue{+1-1}$ [/mm]

[mm] $\gdw 0>(z_n-1)^2-1$ [/mm]

Das ist offensichtlich wahr, denn [mm] $z_n-1$ [/mm] ist aus dem offenen Intervall $(-1,0)$ (wegen der IV) und damit [mm] $(z_n-1)^2<1$, [/mm] also [mm] $(z_n-1)^2-1<0$ [/mm]



>  Danke freshstyle

LG

schachuzipus


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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Do 11.09.2008
Autor: freshstyle

vielen Dank schachuzipus ,

kann fast alles nach voll ziehen!


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Konvergenz: Hinweise zu (1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Do 11.09.2008
Autor: Loddar

Hallo freshstyle!


Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die genannte Folge sowohl beschränkt als auch monoton ist. Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.

Der Grenzwert ergibt sich dann aus der Eigenschaft: $A \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] und der Gleichung:
$$A \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{A}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Do 11.09.2008
Autor: freshstyle

Das ist mir klar, was du geschrieben hast,
aber leider bekomme ich die monotonie nicht hin.

Wenn ich die monotonie habe, dann brauche ich noch ein Verbindung zwischen der geraden Glieder und der ungeraden Glieder, dann habe ich es.

MFG
freshstyle

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Do 11.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Das ist mir klar, was du geschrieben hast,
>  aber leider bekomme ich die monotonie nicht hin.

Hallo,

die Monotonie für die komplette Folge zu zeigen, wird ja auch nicht gelingen, denn sie ist doch nicht monoton.

Es ist ja, wie Du schon sagst: dieTeilfolge der geraden Folgenglieder wächst, die der ungeraden fällt, beide sind beschränkt, und das wäre zu zeigen.

Mit [mm] g_{n}:=a_{2n} [/mm] ist [mm] (g_n) [/mm] die Teilfolge der  geraden Folgenglieder, und mit

[mm] u_{n}:=a_{2n+1} [/mm] ist [mm] (u_n) [/mm] die Teilfolge der ungeraden Folgenglieder.

Was hat Du denn bisher getan, um die Monotonie von [mm] (u_n) [/mm] und [mm] (g_n)zu [/mm] zeigen? Wenn man das sehen könnte, könnte man sicher besser helfen.

>  
> Wenn ich die monotonie habe, dann brauche ich noch ein
> Verbindung zwischen der geraden Glieder und der ungeraden
> Glieder, dann habe ich es.

Wenn Du auch noch zeigst, daß beide Teilfolgen beschränkt sind, hast Du die Konvergenz  der Teilfolgen, und wenn Du zeigen kannst, daß beide Teilfolgen, die gerade und die ungerade gegen denselben Grenzwert konvergieren, bist Du der Konvergenz der Folge sehr nah.

Gruß v. Angela





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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Fr 12.09.2008
Autor: freshstyle

Hallo Angela,
leider kriege ich das nicht hin, die monotonie der beiden Teilfolgen zu zeigen.
Vielleicht hättest du ja ein Idee?

Danke freshstyle

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Fr 12.09.2008
Autor: angela.h.b.


>  leider kriege ich das nicht hin, die monotonie der beiden
> Teilfolgen zu zeigen.
>  Vielleicht hättest du ja ein Idee?

Hallo,

die Ideen und Tips würden sicher besser strömen, wenn ich sehen könnte, was Du versucht hast.

So stochert man ja etwas im Trüben.

Aber es fällt mir eine Stelle ein, an welcher es vielleicht scheitern könnte.


Ist Dir eigentlich folgendes klar:

[mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}. [/mm]

Was hast Du hiermit gewonnen? Es sind nun, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, nur noch gerade bzw. ungerade Folgenglieder im Spiel.

(Du hast so also z.B. [mm] a_{10} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_8 [/mm] ausgedrückt  und [mm] a_7 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_5) [/mm]

Das ist sicher eine Erleichterung, wenn Du nur gerade (bzw. ungerade) Folgenglieder betrachten möchtest, denn es funken Dir keine von der falschen Art dazwischen.


Wenn Du nun das Verhalten der geraden Folgenglieder anschauen möchtest, mußt Du ja [mm] a_{2n}-a_{2n-2} [/mm] betrachten.

Ich würde nun eine Induktion versuchen. (Hab's selbst nicht durchgeführt, aber ich bin voller Optimismus)


Gruß v. Angela





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Bezug
Konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:55 Fr 12.09.2008
Autor: freshstyle

Hallo,

also
$ [mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}. [/mm] $
ist mir schon klar.

Ich habe auch versucht per Induktion folgendes zu zeigen:
$ [mm] a_0 \le a_2 \le a_4 \le [/mm] ... [mm] \le a_{2\cdot{}k} \le a_{2\cdot{}k+2} [/mm] $

und

$ [mm] a_{2\cdot{}k + 3} \le a_{2\cdot{}k+1}\le [/mm] .. [mm] \le a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm] $

leider will mir nicht der Induktionschritt gelingen.
Ich hoffe, jetzt ist es ein wenig klarer geworden wo meine schwierigkeit liegt.
MFG freshstyle

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Fr 12.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> also
> [mm]a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}.[/mm]
>  ist mir schon klar.
>  
> Ich habe auch versucht per Induktion folgendes zu zeigen:
>  [mm]a_0 \le a_2 \le a_4 \le ... \le a_{2\cdot{}k} \le a_{2\cdot{}k+2}[/mm]

Hallo,

kannst Du denn bitte mal zeigen, was Du getan hast?

Wie weit bist Du gekommen?

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:34 Sa 13.09.2008
Autor: freshstyle

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Also, ich kann die ungleichung
$ a_{2k+2}=1+\bruch{a_{2k}}{a_{2k} + 1}} \ge a_{2k} $
nicht beweisen.

danke freshstyle

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Sa 13.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Also, ich kann die ungleichung
> [mm]a_{2k+2}=1+\bruch{a_{2k}}{a_{2k} + 1}} \ge a_{2k}[/mm]
>  nicht
> beweisen.

Hallo,

das habe ich inzwischen begriffen.

Meine Frage ging dahin, was Du getan hast und wie weit Du gekommen bist.

Ich nehme doch an, daß Du das mit Induktion machen willst.

Da brauchen wir doch

die zu beweisende Aussage,
Induktionsanfang,
Induktionsvoraussetzung,
Induktionsschluß.

Welche  Aussage versuchst Du im Induktionsschluß zu beweisen?

Und wie hast Du das angefangen?

Wie soll man denn helfen, wenn man nichts sieht?

Gruß v. Angela


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