Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Hey Leute. Ich wollte nun nochmal fragen, ob ihr mir nicht vielleicht nochmal behilflich sein könntet bei folgender Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}=(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}
[/mm]
Es heißt ja, dass die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=1}=(x-x_0)^k [/mm] für alle x mit der Eigenschaft [mm] |x-x_0|R [/mm] divergent, wobei R der Konvergenzradius ist und sich wie folgt berechnen lässt: [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_k}{a_{k+1}}|
[/mm]
wobei ich jetzt sagen würde, dass [mm] a_k [/mm] in meinem Fall [mm] a_k=\bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] ist.
Um nun den Konvergenzradius bestimmen zu können, berechne ich [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{k}}{\bruch{(-1)^{k+2}}{k+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1}*k+1}{k*(-1)^{k+2}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^k*(-1)*(k+1)}{k*(-1)^k*(-1^2)}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k+1}{-k}|=|-1|=1
[/mm]
Bis hierhin würde ich allerdings zunächst einmal nach eurem Einverständnis fragen. Hoffe das ist ales korrekt so.
Danke schonmal im Vorraus für eure Hilfe. Ihr seit echt super.
MFG Thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles korrekt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Okay. Desweiteren müsste ja dann folgendes rauskommen:
Für den Konvergenzradius gilt:
Die Potenzreihe konvergiert für |x-1|<1 (also für x [mm] \in [/mm] (0,2)) und divergiert für |x-1|>1 (also für x>2 und x<0).
Unterscuhung der Randpunkte x=0 und x=2:
Für x=0 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{-1}{k}
[/mm]
Für x=2 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}
[/mm]
Doch wie soll ich nun wieder die Konvergenzkriterien anwenden???
Ich probiers mal:
Für x=0 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{-1}{k} [/mm] wobei [mm] (-1)^{k+1} [/mm] alternierend auf dem Intervall [mm] k\in[1,\infty[ [/mm] und [mm] \bruch{-1}{k} [/mm] strebt auf dem Intervall [mm] k\in[0,\infty[ [/mm] gegen 0 also konvergent. Aber ob diese Erklärung reicht ist fraglich
Für x=2 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k} [/mm] würde ich ähnlich argumentieren.
Hoffe ihr könnt mir nochmal einen anreiz geben für die Konvergenzkriterien.
Sorry falls es einen Bearbeitungskonflikt gegeben haben sollte. hatte meinen Fehler schon gefunden und verbessert.
Danke für eure Hilfe, weiß das sehr zu schätzen.
MFG thadod
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Hey Loddar. Hatte meinen Fehler selber eingesehen. Sorry das du das trotzdem verbessern musstest.
Ich dividiere natürlich nicht durch 0 da ich im Nenner ja ein k und kein x zu stehen habe. Hatte das dann selber gesehen und verbessert.
Meine Frage steht nun allerdings als beantwortet drin, welche ja aber noch nicht beantwortet wurde, da ja überarbeitet. Ich poste die Frage nochmal nach dieser Mitteilung hier.
MFG thadodo
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Okay. Desweiteren müsste ja dann folgendes rauskommen:
Für den Konvergenzradius gilt:
Die Potenzreihe konvergiert für |x-1|<1 (also für [mm] x\in(0,2)) [/mm] und divergiert für |x-1|>1 (also für x>2 und x<0).
Unterscuhung der Randpunkte x=0 und x=2:
Für x=0 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{-1}{k}
[/mm]
Für x=2 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}
[/mm]
Doch wie soll ich nun wieder die Konvergenzkriterien anwenden???
Ich probiers mal:
Für x=0 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{-1}{k} [/mm] alternierend auf dem Intervall [mm] k\in[1,\infty[ [/mm] und [mm] \bruch{-1}{k} [/mm] strebt auf dem Intervall [mm] k\in[0,\infty[ [/mm] gegen 0 also konvergent. Aber ob diese Erklärung reicht ist fraglich.
Für x=2 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k} [/mm] würde ich ähnlich argumentieren.
Hoffe ihr könnt mir nochmal einen anreiz geben für die Konvergenzkriterien.
Sorry nochmal wegen dem Bearbeitungskonflikt. Hatte meinen Fehler wie schon gesagt gefunden und verbessert.
Danke für eure Hilfe, weiß das sehr zu schätzen.
MFG thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
okay. also irgendwie gerade bischen durcheinander.
Wir haben die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}
[/mm]
Und bereits den Konvergenzradius R=1
Daraus folgt, die Potenzreihe konvergiert für |x-1|<1 (also für [mm] x\in(0,2)) [/mm] und divergiert für |x-1|>1 (also für x>2 und x<0).
Randpunkte sind x=0 und x=2
Für x=0 gilt: [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(0-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^{k+1-1}}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^{k}}{k}
[/mm]
Aber wie kürzt bzw. fässt du die Potenzreihe für den Randpunkt x=2 zusammen???
Kann das nicht so ganz nachvollziehen!!!
Thanks for your help
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo thadod!
Da bin ich nun darauf reingefallen, dass mitten im Thread eine neue Aufgabe begonnen wurde. In Zukunft dann einen neuen (eigenständigen) Thread eröffnen!
Für die neue Aufgabe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\bruch{(x-1)^k}{k}$ [/mm] stimmt Deine Rechnung fast. Du hast am Ende die Potenzen falsch zusammengefasst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Hallo Leute ich habe mal bitte eine dringende Frage.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben ist die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}
[/mm]
Ich habe nun schon den Konvergenzradius berechnet mit [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{k}}{\bruch{-1^{k+2}}{k+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(-1)^{k+1*(k+1)}}{(-1)^{k+2}*k}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{k+1}{-k}|=|-1|=1
[/mm]
Also konvergenzradius R=1
Das heißt, Potenzreihe konvergiert für |x-1|<1 (also [mm] x\in(0,2)) [/mm] und divergiert für |x-1|>1 (also für x>2 und x<0).
Untersuchung der Randpunkte x=0 und x=2:
Für x=0 ergibt sich: [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(0-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(-1)^k}{k}
[/mm]
Für x=2 ergibt sich: [mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(2-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(1)^k}{k}
[/mm]
Das einzige was mir nun noch schwierigkeiten bereitet ist leider die Konvergenzkriteroien für beide Fälle sinnvoll anzugeben.
Könttet ihr mir vielleicht einen anstoss geben???
P.S. Ich hätte jetzt wohl gesagt, dass beide nach Leibniz konvergieren. Bin mir allerdings leider nicht so ganz sicher.
Danke für eure Hilfe.
MFG thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Okay ich versuche nun zunächst für x=0 noch weiter Zusammenzufassen:
[mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(0-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^k*(-1)*(-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{1^{k}*(-1)}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^k}{k}
[/mm]
Und das wäre ja, hat mir jedenfalls schachuzipus erklärt, die alternierende harmonische Reihe. Nach Leibniz also konvergent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo thadod!
> [mm]\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(0-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^k*(-1)*(-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{1^{k}*(-1)}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}\bruch{(-1)^k}{k}[/mm]
Bis zum letzten Gleichheitszeichen stimmt es. Aber wo kommt anschließend dann wieder der Exponent [mm] $(-1)^{\red{k}}$ [/mm] her?
Es gilt doch: [mm] $1^k*(-1) [/mm] \ = \ 1*(-1) \ = \ -1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Oh Shit hast recht ich Idiot  egal wie hoch ich 1 potenziere es muss ja immer 1 rauskommen. Sorry dafür
ja und [mm] \summe^{\infty}_{k=1}\bruch{-1}{k} [/mm] ist eine harmonische Reihe. Daher divergent
Ich fasse nun nur noch für x=2 weiter zusammen:
[mm] \summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(x-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(2-1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{(1)^k}{k}=\summe^{\infty}_{k=1}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}
[/mm]
Das ist eine alternierende (harmonische?) Reihe. Daher nach Leibniz konvergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo thadod!
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") Nun stimmt es!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Ich danke dir vielmals für deien ausdauernde Hilfe
MFG thadod
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Fasse zusammen zu:
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Siehe meine Antwort. Es entsteht:
