Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Guten abend zusammen. Ich habe leider noch mal ein kleines Anliegen an euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um die Potenzreihe [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{1}{3})x^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{9k-3}(x)^k
[/mm]
[mm] a_k=\bruch{1}{9k-3} [/mm] und Potenzreihe um [mm] x_0=0
[/mm]
Potenzreihe konvergent für [mm] |x-x_0|
Potenzreihe divergent für [mm] |x-x_0|>R
[/mm]
Konvergenzradius: [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{9k-3}}{\bruch{1}{9k+1-3}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{9k-2}{9k-3}|=1
[/mm]
Daher ist der Konvergenzradius R=1
Die Potenzreihe konvergiert also für |x-0|<1 (also für [mm] x\in(-1,1))
[/mm]
Die Potenzreihe divergiert also für |x-0|>1 (also für x>1 und x<-1)
Untersuchung der Randpunkte x=-1 und x=1
Für x=-1 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{-1}{3})^k
[/mm]
Für x=1 ist [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{1}{3})^k
[/mm]
Komme nun irgendiwe nicht weiter. Habt ihr vielleicht nochmal Lust auf einen kleinen Gedankenstoss??? Wäre wirklich super von euch.
Danke schonmal im Vorraus. MFG thadod
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Hallo Dominic,
> Guten abend zusammen. Ich habe leider noch mal ein kleines
> Anliegen an euch.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Es geht um die Potenzreihe
> [mm] $\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{1}{3})x^k$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hat sich leider ein dicker Fehler eingeschlichen, der dir den Rest der Aufgabe vermasselt
Es ist [mm] $\left(\frac{x}{3}\right)^k=\frac{x^k}{3^k}=\frac{1}{3^k}\cdot{}x^k$
[/mm]
Damit ergibt sich ein anderer Konvergenzradius.
Bessere das mal eben aus ...
> [mm] $=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{9k-3}(x)^k$
[/mm]
>
> [mm]a_k=\bruch{1}{9k-3}[/mm] und Potenzreihe um [mm]x_0=0[/mm]
>
> Potenzreihe konvergent für [mm]|x-x_0|
> Potenzreihe divergent für [mm]|x-x_0|>R[/mm]
>
> Konvergenzradius:
> [mm]R=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{9k-3}}{\bruch{1}{9k+1-3}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{9k-2}{9k-3}|=1[/mm]
>
> Daher ist der Konvergenzradius R=1
>
> Die Potenzreihe konvergiert also für |x-0|<1 (also für
> [mm]x\in(-1,1))[/mm]
> Die Potenzreihe divergiert also für |x-0|>1 (also für x>1
> und x<-1)
>
> Untersuchung der Randpunkte x=-1 und x=1
>
> Für x=-1 ist
> [mm]\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{-1}{3})^k[/mm]
>
> Für x=1 ist
> [mm]\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{1}{3})^k[/mm]
>
> Komme nun irgendiwe nicht weiter. Habt ihr vielleicht
> nochmal Lust auf einen kleinen Gedankenstoss??? Wäre
> wirklich super von euch.
>
> Danke schonmal im Vorraus. MFG thadod
Bitte nur 1 r 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 27.04.2009 | | Autor: | thadod |
Ja die guten alten Potenzregeln 
Also dann erhalte ich doch eher folgendes:
[mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{(3k-1)*(3^k)}(x^k)
[/mm]
Okay aber wie jetzt Zusammenfassen??? Potenzregeln habe ich nicht wirklich gefunden.
P.S.:
[mm] a^0=1
[/mm]
[mm] a^{-n}=\bruch{1}{a^n}
[/mm]
[mm] a^n*a^m=a^{n+m}
[/mm]
[mm] \bruch{a^n}{a^m}=a^{n-m}
[/mm]
[mm] a^n*b^n=(ab)^n
[/mm]
[mm] \bruch{a^n}{b^n}=(\bruch{a}{b})^n
[/mm]
[mm] a^{\bruch{n}{m}}=\wurzel[n]{a^m}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:32 Di 28.04.2009 | | Autor: | thadod |
Also gut.
Quotientenkriterium besagt, dass zunächst [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] berechnet werden muss.
Ist Grenzwert<1 dann konvergent
Ist Grenzwert>1 dann divergent
Ist Grenzwert=1 dann keine Aussage möglich.
[mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(\bruch{x}{3})^k=\summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{(3k-1)\cdot{}(3^k)}(x)^k
[/mm]
[mm] a_k=\bruch{1}{(3k-1)\cdot{}(3^k)}, [/mm] Potenzreihe um [mm] x_0=0
[/mm]
Also folgt: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{(3k+1-1)(3)^{k+1}}}{\bruch{1}{(3k-1)(3)^k}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{(3k-1)(3)^k}{(3k)(3)^k(3)}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{3k-1}{9k}|=\bruch{1}{3}
[/mm]
Und da [mm] \bruch{1}{3}<1 [/mm] ist die Reihe Konvergent.
Aber wie geht es jetzt mit den Randpunkten weiter??? so wie zuvor???
Dann wäre die Reihe Konvergent für [mm] |x-0|<\bruch{1}{3} [/mm] also für [mm] x\in(-\bruch{1}{3},\bruch{1}{3})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Di 28.04.2009 | | Autor: | thadod |
Ah okay. Dankeschön.
Ich hätte dann für x=-3: [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(-1)^k [/mm] also alternierend harmonisch, konvergent nach Leibniz.
Ich hätte dann für x=3 [mm] \summe^{\infty}_{k=0}\bruch{1}{3k-1}(1)^k
[/mm]
also harmonische, divergent.
MFG thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Di 28.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo thadod!
Deine Versionen sind quasi die Kurzversionen, stimmen aber soweit.
Bei der 2. Reihe handelt es sich natürlich nicht um die "klassische" harmonische Reihe, man kann aber gegen diese sehr gut abschätzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Di 28.04.2009 | | Autor: | thadod |
Geil. Denke dir vielmals.
MFG thadod
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Und nun weiter an die Konvergenzbetrachtung; z.B. mit dem ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Quotientenkriterium