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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Di 12.04.2005 | | Autor: | Swollocz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,hab folgendes problem:
[mm] a_{1}*a_{2}*... a_{n} [/mm] sei eine konvergente folge reeller zahlen >1,
z.Z.: Wenn die oben genannte folge konvergiert, so konvergiert auch diese reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty }( a_{n}-1).
[/mm]
ich kann zeigen, dass ( [mm] a_{n}-1) [/mm] Nullfolge ist, kann aber dann die Beschränktheit der Reihe nicht nachweisen um deren Konvergenz zu zeigen.
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HI,
Benutzt man dann das Majoranten-kriterium?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 12.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Johann,
es handelt sich nicht um das Majorantenkriterium, aber du schätzt direkt die Summe ab:
[mm] $0\le \sum_{n=0}^{\infty} (a_n-1)\le \produkt_{i=0}^{\infty}a_n [/mm] $
Da die rechte Seite konvergiert, konvergiert auch die Summe. (Die Abschätzung nach unten ist richtig, da [mm] $a_n>1$ [/mm] und damit [mm] $(a_n-1)>0$)
[/mm]
Max
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Aber was ist das für ein kriterium, das kenne ich noch gar nicht?
Wendet man das direkt an?Also muss man die "Umformung" vom anderen antwort gar nicht beachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
Die Reihe [mm] $\sum\limits_{n \in \IN} (a_n-1)$ [/mm] besteht nur aus nichtnegativen Gliedern. Sie konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist.
Mit Hilfe der Ungleichung
(*) [mm] $(a_1-1) \cdot \cdot \ldots \cdot (a_n-1) \le a_1 \cdot \ldots \cdot a_n$
[/mm]
schließe ich auf:
[mm] $\sum\limits_{n \in \IN} (a_n-1) \le \prod\limits_{n \in \IN} a_n [/mm] < [mm] \infty$,
[/mm]
nach Voraussetzung.
Was man noch zeigen muss, ist eben (*). Und ich dachte das meine "Umformung" hilfreich dazu wäre. Oder ist dir (*) unmittelbar klar? Mir war es das nicht. Also habe ich zunächst so "umgeformt" wie beschrieben und es mir klar gemacht (durch Ausmultiplizieren von [mm] $((a_1-1)+1) \cdot \ldots ((a_n-1)+1)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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).
