Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leith |
| Aufgabe | [mm] a_{1}=\bruch{3}{2} [/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2*a_n-1}
[/mm]
meine Berechnungen:
[mm] a_{1}=\bruch{3}{2} [/mm]
[mm] a_{2}=2^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{3}=2^\bruch{3}{4}\wurzel{-1}
[/mm]
[mm] a_{4}=2^\bruch{7}{8}\wurzel{-1}
[/mm]
[mm] a_{5}=2^\bruch{15}{16}\wurzel{-1} [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab ein kleines Problem mit diese Mathehausaufgabe.Ich weiß, um die Konvergenz zu berechnen,muß ich ein paar Folgenglieder berechnen. Hab aber keine Ahnung welches Bildungsgesetz dabei entsteht um den Grenzwert anschließend zu berechnen.Könnt Ihr mir vieleicht helfen.Wäre für jede hilfe dankbar.
Gruß der leith
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo leith
> [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_n-1}[/mm]
>
> meine Berechnungen:
>
> [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{2}=2^\bruch{1}{2}[/mm]
[mm] a_2=\wurzel{2*3/2-1}=\wurzel{2}
[/mm]
>
> [mm]a_{3}=2^\bruch{3}{4}\wurzel{-1}[/mm]
falsch, richtig ist:
[mm] a_3=\wurzel{2*\wurzel{2}-1} \approx \wurzel{1,8}
[/mm]
usw. du hast anscheinend die Vorschrift nicht verstanden?
[mm] a_n [/mm] wird immer kleiner , kann aber nicht kleiner als 1 werden (warum?)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leith |
Nabend leduart,
erstmal danke für deine schnelle Antwort.Nun zu deiner Frage.Wenn ich richtig gerechnet hab sollte spätestens ab [mm] a_{11} [/mm] immer 1 rauskommen deswegen.Aber ich weiß immer noch nicht wie ich das Bildungsgesetz mathematisch schreiben soll.
Gruß Leith> Hallo leith
> > [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> > [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_n-1}[/mm]
> >
> > meine Berechnungen:
> >
> > [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> >
> > [mm]a_{2}=2^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]a_2=\wurzel{2*3/2-1}=\wurzel{2}[/mm]
> >
> > [mm]a_{3}=2^\bruch{3}{4}\wurzel{-1}[/mm]
> falsch, richtig ist:
> [mm]a_3=\wurzel{2*\wurzel{2}-1} \approx \wurzel{1,8}[/mm]
> usw. du
> hast anscheinend die Vorschrift nicht verstanden?
> [mm]a_n[/mm] wird immer kleiner , kann aber nicht kleiner als 1
> werden (warum?)
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 04.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Nabend leduart,
>
> erstmal danke für deine schnelle Antwort.Nun zu deiner
> Frage.Wenn ich richtig gerechnet hab sollte spätestens ab
> [mm]a_{11}[/mm] immer 1 rauskommen deswegen.
Hall,
das ist grober Unfug. Wenn dein Taschenrechner "1" anzeig, dann nur deshalb, weil das tatsächliche Ergebnis 1,000000000000000(und jetzt kommen noch ein paar andere Ziffern) ist, aber der Rechner nicht so viele Ziffern anzeigen kann. Deshalb rundet er auf 1 ab.
Dass das Unfug ist, lässt sich auch beweisen.
Angenommen, irgendeines der Folgenglieder [mm] a_{n+1} [/mm] wäre wirklich GENAU 1.
Dann würde ja [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_n-1}[/mm] geschrieben werden können als
[mm]1=\wurzel{2*a_n-1}[/mm]
Daraus folgt durch quadrieren
[mm]1=2*a_n-1[/mm]
daraus
[mm] 2=2*a_n
[/mm]
[mm] 1=a_n
[/mm]
(Es wären also auch alle Vorgängerglieder schon 1).
Dann müsste aber auch [mm] a_1=1 [/mm] gelten und nicht [mm] a_1=3/2.
[/mm]
Gruß Abakus
> Aber ich weiß immer
> noch nicht wie ich das Bildungsgesetz mathematisch
> schreiben soll.
>
> Gruß Leith> Hallo leith
> > > [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> > > [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_n-1}[/mm]
> > >
> > > meine Berechnungen:
> > >
> > > [mm]a_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]a_{2}=2^\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]a_2=\wurzel{2*3/2-1}=\wurzel{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]a_{3}=2^\bruch{3}{4}\wurzel{-1}[/mm]
> > falsch, richtig ist:
> > [mm]a_3=\wurzel{2*\wurzel{2}-1} \approx \wurzel{1,8}[/mm]
> >
> usw. du
> > hast anscheinend die Vorschrift nicht verstanden?
> > [mm]a_n[/mm] wird immer kleiner , kann aber nicht kleiner als 1
> > werden (warum?)
> > Gruss leduart
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leith |
Danke für den Hinweis Abakus,
war wohl zu schnell und flapsig beim rechnen, aber wie soll ich den sonst zeigen das die Folge konvergiert und den Grenzwert berechnen da ich keine Bildungsgesetz erkennen kann? Hättest Du einen Tipp für mich?
Gruß leith
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Hiho,
schachuzipus hat dir erklärt, wie es gemacht wird.
Mach das erstmal und wenn du dabei Probleme hast, meld dich nochmal.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo leith,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Siehe mal hier, da wurde diese Folge ausgiebigst diskutiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leith |
Hallo Loddar,
ich weiß nicht ob ich falsch liege aber ich hab doch eine ganz andere Aufgabe
Ich hab :
[mm] a_{n+1}= \wurzel{2*a_{n}-1}
[/mm]
und Ihr hab diskutiert:
[mm] a_{0}= \wurzel{2*a_{n-1}}
[/mm]
gruß Leith
> Hallo leith,
>
> !!
>
>
> Siehe mal hier, da wurde
> diese Folge ausgiebigst diskutiert.
>
>
> Gruß
> Loddar
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Hallo,
um die Konvergenz deiner Folge nachzuweisen, brauchst du eine explizite Darstellung nicht!
Weise für deine Folge 2 Dinge nach:
1) sie ist nach unten beschränkt durch 1, zeige also (mit Induktion), dass [mm] $\forall n\in\IN: a_n>1$ [/mm] gilt
2) sie ist (streng) monoton fallend, zeige also [mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$ [/mm] für bel. [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Damit weißt du, dass die Folge konvergent ist.
Den GW $a$ bestimme über $a \ = \ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Also gem. der rekurs. Def.: [mm] $a=\sqrt{2a-1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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