Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
| Aufgabe | Man untersuche die Konvergenz der Reihen
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln*n)^n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{i^2}{2^i} [/mm] |
zu a habe ich mit dem quotientenkriterium dann mal ein wenig gebastelt und hab das folgende gemacht
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)^n+1}*\bruch{n^n}{n!} [/mm] die 1 im nenner soll jeweils zum n des exponenten gehören aber ick weiß nich wie man das eintragen muss^^
[mm] =\bruch{n!(n+1)}{(n+1)^n+1}*\bruch{n^n}{n!} [/mm] hier hab ich dann die fakultäten gekürzt und im anschluß den exponenten im nenner zerlegt zu
[mm] =\bruch{n+1}{(n+1)^n*(n+1)^1}*\bruch{n^n}{1} [/mm] an der stelle hab ich dann vorne gekürzt und bin damit im endeffekt zu
[mm] =\bruch {n^n}{(n+1)^n} [/mm] gekommen und an der stelle glaube ich zu wissen das der nenner schneller gegen null strebt als der zähler von daher die teilsummen immer kleiner werden dann ist doch das ergebnis = 0 oder seh ich da irgendwas falsch weil ich hab gar keine ahnung wie ich hier den letzten schritt korrekt formulieren soll DA steck ich halt fest
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo tronix und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man untersuche die Konvergenz der Reihen
>
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}[/mm]
>
>
> b) [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln*n)^n}[/mm]
>
>
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
>
>
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{i^2}{2^i}[/mm]
> zu a habe ich mit dem quotientenkriterium dann mal ein
> wenig gebastelt und hab das folgende gemacht
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)!}{(n+1)^n+1}*\bruch{n^n}{n!}[/mm]
Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, setze in geschweifte Klammern, also (n+1)^{n+1}, was [mm] $(n+1)^{n+1}$ [/mm] ergibt.
>
> [mm]=\bruch{n!(n+1)}{(n+1)^n+1}*\bruch{n^n}{n!}[/mm] hier hab ich
> dann die fakultäten gekürzt und im anschluß den
> exponenten im nenner zerlegt zu
>
>
> [mm]=\bruch{n+1}{(n+1)^n*(n+1)^1}*\bruch{n^n}{1}[/mm] an der stelle
> hab ich dann vorne gekürzt und bin damit im endeffekt zu
>
>
> [mm]=\bruch {n^n}{(n+1)^n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sehr gut soweit!
> gekommen und an der stelle glaube
> ich zu wissen das der nenner schneller gegen null strebt
> als der zähler von daher die teilsummen immer kleiner
> werden dann ist doch das ergebnis = 0 oder seh ich da
> irgendwas falsch weil ich hab gar keine ahnung wie ich hier
> den letzten schritt korrekt formulieren soll DA steck ich
> halt fest
Typischer Trick: Addiere eine nahrhafte Null:
[mm] $\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+\red{\overbrace{1-1}^{=0}}}{n+1}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Hilft dir das im Hinblick auf die weltbekannte Folge [mm] $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ [/mm] und ihren GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] weiter?
Gruß
schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
naja ich hab jetzt mit dem ansatz als lösung
[mm] (1-0)^n =1^n [/mm] =>q>1 die reihe divergiert is das so richtig?
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Hallo,
> naja ich hab jetzt mit dem ansatz als lösung
>
> [mm](1-0)^n =1^n[/mm] =>q>1 die reihe divergiert is das so richtig?
Nein, ganz ganz ganz falsch.
Ihr habt doch mit sicherheit beim Kapitel Folgen gezeigt, dass
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e=e^1$ [/mm] ist
Entsprechend allg. [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n=e^{\red{x}}$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR [/mm] \ [mm] \left(\in\IC\right)$
[/mm]
Also ergibt sich in deinem Falle welcher GW?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
mmh um ehrlich zu sein war mir das nich geläufig aber mein mathe hängt auch ziemlich in den seilen egal
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n=e^{\red{x}} [/mm]
ergibt dann für mein beispiel denke ich [mm] e^{-1} [/mm] und damit is der grenzwert dann 0.3678... damit <1 und meine reihe konvergiert.
sollte das nun wieder nicht hinhauen brauch ick mal nen wink mitm ganzen zaun weil dann seh ich da einfach nich durch links die mir die sache dann verdeutlichen tuns in dem fall auch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 02.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> mmh um ehrlich zu sein war mir das nich geläufig
Diesen Grenzwert sollte man aber kennen.
> aber mein mathe hängt auch ziemlich in den seilen egal
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\red{x}}{n}\right)^n=e^{\red{x}}[/mm]
>
>
> ergibt dann für mein beispiel denke ich [mm]e^{-1}[/mm] und damit
> is der grenzwert dann 0.3678...
Schreibe besser [mm] \bruch{1}{3}\approx0,367
[/mm]
> damit <1
Warum erwähnst du das?
> und meine reihe konvergiert.
Yep
>
> sollte das nun wieder nicht hinhauen brauch ick mal nen
> wink mitm ganzen zaun weil dann seh ich da einfach nich
> durch links die mir die sache dann verdeutlichen tuns in
> dem fall auch
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
danke !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
so nachdem ich mich ja am ende bei a blamiert hab, hab ich mich jetzt mal an c versucht und bräuchte da auch mal eine meinung dazu also:
ansatz wieder übers quotientenkriterium führt zu
$ [mm] \bruch{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] $
das hab ich dann umgeformt zu
[mm] \bruch{(n!)^2(n+1)^2}{(2n)!(n+1)}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}
[/mm]
hier nun das offensichtliche gekürzt damit dann auf
[mm] \bruch{(n+1)(n+1)}{2n+1}
[/mm]
gekommen dort den zähler dann aufgeteilt in
[mm] \bruch{n^2}{2n+1}+\bruch{2n+1}{2n+1}
[/mm]
anschließend wieder gekürzt und als letzten term
[mm] 1+\bruch{n^2}{2n+1} [/mm] erhalten
der meiner logik nach als [mm] 1+\infty [/mm] somit >1 gilt und somit die reihe divergent macht is das korrekt?
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Hallo nochmal,
> so nachdem ich mich ja am ende bei a blamiert hab, hab ich
> mich jetzt mal an c versucht und bräuchte da auch mal eine
> meinung dazu also:
>
>
>
> ansatz wieder übers quotientenkriterium führt zu
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
>
> das hab ich dann umgeformt zu
>
>
> [mm]\bruch{(n!)^2(n+1)^2}{(2n)!(n+1)}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
Hier steckt ein kleiner Fehler, die Quadrate der Fakultäten, die meinstens für Fehler sorgen, hast du richtig verarztet.
Falsch ist die Umformung von $(2(n+1))!$
Das ist $(2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)$
Bessere das mal aus und rechne den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] aus ...
>
>
> hier nun das offensichtliche gekürzt damit dann auf
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+1)}{2n+1}[/mm]
>
> gekommen dort den zähler dann aufgeteilt in
>
> [mm]\bruch{n^2}{2n+1}+\bruch{2n+1}{2n+1}[/mm]
>
> anschließend wieder gekürzt und als letzten term
>
> [mm]1+\bruch{n^2}{2n+1}[/mm] erhalten
>
> der meiner logik nach als [mm]1+\infty[/mm] somit >1 gilt und somit
> die reihe divergent macht is das korrekt?
Nein, diese Reihe ist wunderbar konvergent ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok mit dem hinweis hab ichs nun folgender maßen
$ [mm] \bruch{(n!)^2(n+1)^2}{2n!(2n+1)(2n+2}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] $
wobei ich hier eine frage zum auflösung der fakultät habe gibs da nen guten link zu wo ich das mal richtig nachvollziehen kann?
so dann wieder kürzen führt zu
[mm] \bruch{n^2+2n+1}{2n^2+8n+2}
[/mm]
nun hab ich die höchste potenz ausgeklammert und komme auf
[mm] \bruch {n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2})}{n^2(4+\bruch{8}{n}+\bruch{2}{n^2})}
[/mm]
so jetzt [mm] n^2 [/mm] kürzen alle brüche mit [mm] n^x [/mm] im nenner werden zu null damit ergibt sich 1/4 und die reihe ist somit konvergent korrekt?
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Hallo nochmal,
> ok mit dem hinweis hab ichs nun folgender maßen
>
>
> [mm]\bruch{(n!)^2(n+1)^2}{2n!(2n+1)(2n+2}\cdot{}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}[/mm]
>
> wobei ich hier eine frage zum auflösung der fakultät habe
> gibs da nen guten link zu wo ich das mal richtig
> nachvollziehen kann?
>
>
> so dann wieder kürzen führt zu
>
> [mm]\bruch{n^2+2n+1}{2n^2+8n+2}[/mm]
Hier passt im Nenner was nicht ...
>
> nun hab ich die höchste potenz ausgeklammert und komme
> auf
>
> [mm]\bruch {n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2})}{n^2(4+\bruch{8}{n}+\bruch{2}{n^2})}[/mm]
>
> so jetzt [mm]n^2[/mm] kürzen alle brüche mit [mm]n^x[/mm] im nenner werden
> zu null damit ergibt sich 1/4 und die reihe ist somit
> konvergent korrekt?
Ja! Kleiner Tipp: Ich würde Zähler und Nenner nicht ausmultiplizieren, sonden direkt im Zähler [mm] n^2 [/mm] und im Nenner aus beiden Klammern 2n ausklammern:
[mm] $\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{2n\left(1+\frac{1}{2n}\right)2n\left(1+\frac{2}{2n}\right)}=\ldots [/mm] \ [mm] \longrightarrow \frac{1}{4}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
> $ [mm] \bruch{n^2+2n+1}{2n^2+8n+2} [/mm] $
Hier passt im Nenner was nicht ...
haste recht weil [mm] (2n+1)(2n+2)=4n^2+4n+2n+2
[/mm]
und dann is es [mm] 4n^2+6n+2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 02.07.2010 | | Autor: | tronix |
so nabend ich nochmal nachdem ich jetzt zwischenzeitlich als antwort für aufgabe d 1/2 bekommen habe womit die reihe konvergiert
nun die aufgabe mit der ich mich schon den ganzen tag plage
b)
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln\cdot{}n)^n} [/mm] $
bei der komm ich einfach nich vorwärts wobei es hier leider schon an der entscheidung für das richtige berechnungsverfahren scheitert könnte mir da evtl jemand nen zarten hinweis geben
mein ansatz mit dem quotientenkriterium sieht zb so aus
[mm] \bruch{1}{(ln (n+1))^{n+1}}*\bruch{(ln (n))^n}{1}
[/mm]
dazu sieht dann meine erste umformung wie folgt aus
[mm] \bruch{1}{(ln(n+1)^n*(ln(n+1)^1}*\bruch{(ln (n))^n}{1}
[/mm]
aber wie ich das nun knacken soll erschließt sich mir einfach nicht ^^
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Hallo,
> so nabend ich nochmal nachdem ich jetzt zwischenzeitlich
> als antwort für aufgabe d 1/2 bekommen habe womit die
> reihe konvergiert
>
> nun die aufgabe mit der ich mich schon den ganzen tag plage
>
> b)
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{(ln\cdot{}n)^n}[/mm]
>
> bei der komm ich einfach nich vorwärts wobei es hier
> leider schon an der entscheidung für das richtige
> berechnungsverfahren scheitert könnte mir da evtl jemand
> nen zarten hinweis geben
>
> mein ansatz mit dem quotientenkriterium sieht zb so aus
>
> [mm]\bruch{1}{(ln (n+1))^{n+1}}*\bruch{(ln (n))^n}{1}[/mm]
>
> dazu sieht dann meine erste umformung wie folgt aus
>
> [mm]\bruch{1}{(ln(n+1)^n*(ln(n+1)^1}*\bruch{(ln (n))^n}{1}[/mm]
>
> aber wie ich das nun knacken soll erschließt sich mir
> einfach nicht ^^
Mir auch nicht.
Verwende lieber das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium, damit dürftest du hier wesentlich schneller zum Ziel kommen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 05.07.2010 | | Autor: | tronix |
mh ok ich habe grade die antwort gelesen nun hab ich mir das mal angeschaut und den ansatz aufgestellt
[mm] n\wurzel{\bruch{1}{(ln(n))^n}} [/mm] und hier hab ich jetzt das problem das ich nicht weiß ob das n der wurzel sich direkt mit dem exponenten des nenners kürzen lässt oder ob ich vll erst den bruch umformen muss es wäre nett wenn mir da evtl wer helfen könnte weil die beispiel aufgaben die ich habe beziehen sich immer nur auf aufgaben bei denen der exponent für den ganzen bruch steht
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Hallo tronix,
klar heben sich das n der Wurzel und der Exponent im Nenner auf. Das ist ziemlich elementare Potenz- und Wurzelrechnung...
Vielleicht hilft Dir der folgende Tipp, um es selbst zu sehen:
[mm] 1=1^n
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 05.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok wenn das so ist, ist dann das folgende richtig
[mm] \bruch{1}{ln(n)} [/mm] für [mm] n->\infty
[/mm]
führt zu [mm] \bruch{1}{ln(\infty)}
[/mm]
was dann zu [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] was 0 ergibt womit die reihe dann konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Deine Reihe ist
[mm] $\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^n}$ [/mm] (1)
mit den Summanden
[mm] $a_n:=\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^n}$ [/mm] fuer [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\geqslant [/mm] 2$
Nun zum Wurzelkriterium: Zu zeigen ist: Es gibt ein [mm] $0\leqslant [/mm] C<1$, so dass die folgende Ungleichung gilt
[mm] $\wurzel[n]{\left|a_n\right|}
In Deinem Fall: Waehle zum Beispiel $C=0.95<1$, dann gilt
[mm] $\wurzel[n]{\left|\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^n}\right|}=\frac{1}{\left|\ln(n)\right|}<0.95=C$ [/mm] fuer alle $n>2$
oder waehle zum Beispiel $C=0.5<1$, dann gilt
[mm] $\wurzel[n]{\left|\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^n}\right|}=\frac{1}{\left|\ln(n)\right|}<0.5=C$ [/mm] fuer alle $n>7$
(Frage: Warum gilt diese Ungleichung nun? Naja, Du weisst, dass die Folge [mm] $b_n:=\left|\ln(n)\right|$ [/mm] streng monoton wachsend ist fuer [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\geqslant [/mm] 2$. Damit ist die Folge [mm] $\frac{1}{b_n}=\frac{1}{\left|\ln(n)\right|}$ [/mm] streng monoton fallend. Daher schaust Du eben (durch probieren) ab welchem Index $n$ das Folgenglied [mm] $\frac{1}{\left|\ln(n)\right|}
Daher folgt aus dem Wurzelkriterium, dass die Reihe (1) absolut konvergiert.
Gruss
Denny
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