Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\inty}n2^{-n} [/mm] konvergiert und berechnen sie den Grenzwert.
Hinweis: betrachten sie:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n2^{-n}-\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n} [/mm] |
Hallo,
ich habe nicht den Hinweis, sondern das Qutientenkriterium verwendet:
[mm] |\bruch{(n+1)*2^n}{2^{n+1}*n}|=|\bruch{(n+1)}{2n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1+1/n}{2}|=1/2<1
[/mm]
also konvergiert die Reihe.
İst dies richtig oder kann man das nur durch den Hinweis lösen?
Wenn es nur durch den Hinweis geht, weiss ich gar nicht wie ich es verwenden soll.
Danke im voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 23.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Zeigen sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\inty}n2^{-n}[/mm] konvergiert
> und berechnen sie den Grenzwert.
>
> Hinweis: betrachten sie:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n2^{-n}-\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}[/mm]
> Hallo,
>
>
> ich habe nicht den Hinweis, sondern das Qutientenkriterium
> verwendet:
>
>
> [mm]|\bruch{(n+1)*2^n}{2^{n+1}*n}|=|\bruch{(n+1)}{2n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1+1/n}{2}|=1/2<1[/mm]
>
> also konvergiert die Reihe.
Das Gleichheitszeichen unmittelbar vor dem Limes ist falsch, sonst stimmt es.
>
> İst dies richtig oder kann man das nur durch den Hinweis
> lösen?
Die Konvergenz hast du gezeigt, aber damit hast du noch nicht den Grenzwert.
> Wenn es nur durch den Hinweis geht, weiss ich gar nicht
> wie ich es verwenden soll.
Da du nun weisst, dass die Reihe konvergiert, darfst du die beiden Reihen zusammenfassen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}n2^{-n}-\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n} = \summe_{n=1}^{\infty}(n-1)2^{-n}[/mm] .
In den Summe ganz rechts ist der erste Summand (für n=1) gleich 0, also ist das
[mm] = \summe_{n=2}^{\infty}(n-1)2^{-n} [/mm] .
Und jetzt verschiebst du den Summationsindex.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke zunaechst für die schnelle Antwort!
> [mm]= \summe_{n=2}^{\infty}(n-1)2^{-n}[/mm] .
>
muss ich davon jetzt die Summe beziehungsweise den Grenzwert berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Espe |
Form den Ausdruck einfach mal um ( Index-wechsel, wie schon gesagt), und schau dir dann an was du auf beiden Seiten der Gleichung hast. Eventuell kannst du ja was auf die andere Seite bringen dann ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
kann ich auch n=-2 beım index schreiben?
Dann haette ich vor der Summe [mm] 2^n [/mm] also die geometrische reihe und (n+1) würde ich dann vor die Summe schreiben.
(İch glaube ich denke gerade totalen schwachsinn =) )
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Fr 23.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nein, du sollst einfach den "Start" n = 2 auf n = 1 zurücksetzen. Wenn du das hast, erhälst du einen Ausdruck den du dann vergleichen kannst mit anderem bzw. dem Hinweis.
Du solltest dann nach ein paar wenigen Schritten auf
[mm] 2*\summe_{n=1}^{\infty}n*2^{-n} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^{-n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n2^{-n} [/mm]
kommen.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> kann ich auch n=-2 beım index schreiben?
>
> Dann haette ich vor der Summe [mm]2^n[/mm] also die geometrische
> reihe und (n+1) würde ich dann vor die Summe schreiben.
könntest Du, aber es wäre komisch:
[mm] $$\summe_{n=2}^{\infty}(n-1)2^{-n}=\sum_{n=\underbrace{2-4}_{=-2}}^\infty ((n+4)-1)*^{-(n+4)}\,.$$
[/mm]
Mach Dir mal allgemein klar (das folgende versteht man, für ein einmal "geeignet" gewähltes [mm] $p\,,$ [/mm] meist unter "Indexshift" oder "Indexverschiebung"):
[mm] $$\sum_{k=n_0}^{m_0}a_k=\sum_{k=n_0-p}^{m_0-p}a_{k+p}$$
[/mm]
für ganze Zahlen $p [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Dabei soll auch [mm] $\infty-p:=\infty$ [/mm] sein.
> (İch glaube ich denke gerade totalen schwachsinn =) )
Benutze das mal für $p=1$:
[mm] $$\summe_{n=2}^{\infty}(n-1)2^{-n}=\sum_{n=1}^\infty n2^{-(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty n2^{-n-1}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Ich finde Deinen Ansatz von hier auch nicht schlecht.
Denn Du hast begründet, dass
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty n*2^{-n}$$
[/mm]
konvergiert. Damit gilt
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}=\sum_{n=1}^\infty (n-(n-1))2^{-n}=\sum_{n=1}^\infty n2^{-n}-\sum_{n=1}^\infty (n-1)2^{-n}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\sum_{n=1}^\infty (n-1)2^{-n}$ [/mm] z.B. konvergiert, weil [mm] $\sum_{n=1}^\infty n*2^{-n}$ [/mm] eine konvergente Majorante ist.
Im Prinzip hast Du somit (teilweise) begründet, warum der Tipp sinnvoll ist bzw. benutzt werden darf. Rechnerisch geht es natürlich analog zu den weiteren, hier gegebenen Tipps, weiter.
Beste Grüße,
Marcel
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