Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Man entscheide mit Begründung, ob die Folgen
(a) [mm] (\bruch{2^{n}}{n})_{n\in \IN}
[/mm]
(b) [mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})_{n\in \IN}
[/mm]
konvergieren und bestimme im Fall der Konvergenz den Grenzwert |
| Aufgabe 2 | Man betrachte die Folge [mm] (s_{n})_{n\in \IN} [/mm] definiert durch [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_{n+1}:= s_n [/mm] + [mm] (s_n)^{-1}. [/mm] Man entscheide mit Begründung, ob [mm] (s_{n})_{n\in \IN} [/mm] nach oben beschränkt ist. |
| Aufgabe 3 | (a) Es sei [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass ein q mit 0 =< q =< 1 existiert, so dass für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] |a_{n+1}-a_n| [/mm] =< [mm] q|a_n-a_{n-1}|. [/mm] Man zeige, dass die Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] konvergiert.
(b) Genügt es zu fordern, dass [mm] |a_{n+1}-a_n| [/mm] < [mm] |a_n-a_{n-1}| [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt, um auf Konvergenz zu schließen? |
Zu Aufgabe 1:
(a) [mm] (\bruch{2^{n}}{n}) [/mm] || * n
= [mm] 2^{n}*n
[/mm]
Genügt jetzt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{n}*n \to \infty [/mm]
Die Folge divigert, d.h. sie ist nicht nach oben beschränkt.
Reicht das - oder soll ich noch durch Induktion nachweisen das n+1 < n ?
(b) Dass das ganze gegen 0 konvergiert ist mir klar, aber wie Beweis ich es am besten?
Zu Aufgabe 2:
[mm] s_n [/mm] ist nicht nach oben beschränkt:
[mm] s_n [/mm] < [mm] s_{n+1}=s_n [/mm] + [mm] (s_n)^{-1}, [/mm] da [mm] (s_n)^{-1} [/mm] > 0 ist. Schon bewiesen, oder muss ich noch was ergänzen ???
Zu Aufgabe 3:
Ganz ehrlich, ich hab keine Ahnung wo ich Anfangen soll, kann mir vielleicht einer einen Tipp geben?
Gruß
TrockeNass
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TrockenNass!
Erweitere den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
[mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] || * [mm] (\wurzel{n+1}+\wurzel{n})
[/mm]
= 3. Binomische Formel = [mm] (\wurzel{n+1})^{2} [/mm] - [mm] (\wurzel{n})^{2} [/mm] = 1
Aber sollte das nicht gegen 0 konvergieren ??? Wo liegt also mein Fehler ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo TrockenNass,
> [mm](\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm] || * [mm](\wurzel{n+1}+\wurzel{n})[/mm]
> = 3. Binomische Formel = [mm](\wurzel{n+1})^{2}[/mm] -
> [mm](\wurzel{n})^{2}[/mm] = 1
>
> Aber sollte das nicht gegen 0 konvergieren ??? Wo liegt
> also mein Fehler ???
Du sollst ja auch, wie Loddar schrieb erweitern und nicht einfach multiplizieren!
[mm]\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\ldots\mbox{}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}=\bruch{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1}+\wurzel{n})=\infty
[/mm]
[mm] \to \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}) [/mm] = 0
Die Folge konvergiert gegen 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TrockenNass!
So stimmt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TrockenNass!
Du kannst doch nicht einfach den term mit einem anderen Term multiplizieren. Damit veränderst Du doch den ursprünglichen Term.
Ein Vorschlag:
Zeige, dass für [mm]n\ge 4[/mm] gilt: [mm]2^n \ \ge \ n^2[/mm] (z.B. mittels Induktion).
Dann kannst Du den Term [mm]\tfrac{2^n}{n}[/mm] entsprechend abschätzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also mein Lösungsansatz:
[mm] \bruch{2^{n}}{n} \to \infty
[/mm]
Annahme: [mm] |2^{n}-n| [/mm] < [mm] |2^{n+1}-(n+1)|< [/mm] ... [mm] <|2^{m}-m| \forall m\in \IN
[/mm]
Beweis (mittels Induktion):
I.A.
[mm] |2^{n}-n| [/mm] < [mm] |2^{n+1}-(n+1)|
[/mm]
n=1
[mm] \to [/mm] 1 < 2
I.V. gilt für beliebiges n
I.S. n=n+1
[mm] |2^{n+1}-(n+1)| [/mm] < [mm] |2^{n+2}-(n+2)|
[/mm]
[mm] \to [/mm] 2<5
[mm] \to |2^{n+1}-(n+1)| [/mm] - [mm] |2^{n}-n| \to \infty [/mm] für [mm] n\to \infty [/mm]
Schluss: Die Gleichung divigiert
Ist das so richtig - oder fehlt noch was ???
Gruß TrockenNass
|
|
|
| |
|
Kleine Ergänzung: [mm] |2^{n+1}-(n+1)| [/mm] - [mm] |2^{n}-n| [/mm] = [mm] 2^{n}-1
[/mm]
[mm] \to \limes_{n\rightarrow\infty} (2^{n}-1) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum divergiert [mm] 2^n/n [/mm] wenn [mm] 2^n-n [/mm] divergiert?
z.Bsp [mm] n^{-1}/n [/mm] konvergiert. [mm] n^{-1}-n [/mm] divergiert.
2. hast du keine vollst Induktion gemacht, sondern es nur für n=1 und n=2
gezeigt.
bei vollst Induktion: man muss von einem beliebigen! n auf n+1 schliessen.
Loddar hat dir doch nen Tip gegeben
du musst zeigen, dass zu jedem beliebigen N es ein n gibt so dass [mm] 2^n/n>N
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vergesst mal die anderen 2 Antworten, die ist jetzt ordentlich und sollte stimmten:
Annahme: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2^{n}}{n})=\infty
[/mm]
Wenn [mm] (\bruch{2^{n}}{n}) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert, dann muss [mm] 2^{n} [/mm] > n sein, und auch [mm] |2^{n}-n| [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergieren.
Beweis (mittels Induktion):
I.A. n=1
[mm] 2^{n} [/mm] > n [mm] \to [/mm] 2>1
[mm] |2^{n}-n| \to [/mm] |2-1|=1
I.V. Konvergiert gegen [mm] \infty
[/mm]
I.S. n=n+1
[mm] 2^{n+1} [/mm] > n+1 [mm] \to [/mm] 4>2
[mm] |2^{n+1}-(n+1)| \to [/mm] |4-2|=2
Es folgt: [mm] |2^{n}-n| [/mm] < [mm] |2^{n+1}-(n+1)| [/mm] < [mm] |2^{n+2}-(n+2)| \to \limes_{n\rightarrow\infty}|2^{n}-n|=\infty
[/mm]
Die Folge konvergiert gegen [mm] \infty, [/mm] ist daher divergent
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Vergesst mal die anderen 2 Antworten, die ist jetzt
> ordentlich und sollte stimmten:
Nee, leider überhaupt nicht!
> Annahme:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2^{n}}{n})=\infty[/mm]
> Wenn [mm](\bruch{2^{n}}{n})[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] konvergiert, dann muss [mm]2^{n}[/mm] > n sein, und
> auch [mm]|2^{n}-n|[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] konvergieren.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du darauf?
Du sollst zeigen [mm] $2^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ n$ und daraus folgern, dass [mm] $\bruch{2^n}{n}$ [/mm] über alle Grenzen steigt.
> Beweis (mittels Induktion):
> I.A. n=1
> [mm]2^{n}[/mm] > n [mm]\to[/mm] 2>1
> [mm]|2^{n}-n| \to[/mm] |2-1|=1
> I.V. Konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]
> I.S. n=n+1
> [mm]2^{n+1}[/mm] > n+1 [mm]\to[/mm] 4>2
> [mm]|2^{n+1}-(n+1)| \to[/mm] |4-2|=2
>
> Es folgt: [mm]|2^{n}-n|[/mm] < [mm]|2^{n+1}-(n+1)|[/mm] < [mm]|2^{n+2}-(n+2)| \to \limes_{n\rightarrow\infty}|2^{n}-n|=\infty[/mm]
Das ist einfach nur abenteuerlich und (sorry) totaler Nonsens!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Sorry war wohl mit meinen Gedanken, wo ganz anders bzw. in die eine Idee zu verbissen
Annahmen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2^{n}}{n}) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Dann muss gelten [mm] 2^{n} [/mm] > n und [mm] (\bruch{2^{n}}{n}) [/mm] < [mm] (\bruch{2^{n+1}}{n+1}) [/mm]
Ist der Anfang jetzt richtig ???
(ja oder nein reicht mir !)
Gruß TrockenNass
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! trotzdem was dazu
dass [mm] 2^n>n [/mm] reicht nicht.
es gilt 2n>n trotzdem konvergiert 2n/n
es gilt auch noch 2(n+1)-(n+1)>2n-n
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> Nein! trotzdem was dazu
> dass [mm]2^n>n[/mm] reicht nicht.
> es gilt 2n>n trotzdem konvergiert 2n/n
Woher nimmst du jetzt die 2n/n ???
> es gilt auch noch 2(n+1)-(n+1)>2n-n
Woher nimmst du: 2(n+1) - (n+1) > 2n-n
> Gruss leduart
>
>
Also muss ich beweisen:
1. [mm]2^n>n[/mm]
2. für 2n>n konvergiert [mm] \bruch{2n}{n}
[/mm]
3. es gilt 2(n+1)-(n+1)>2n-n
Gruß TrockenNass
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, wenn ich dich verwirrt habe. ich hatte ein neues Beispiel genommen, die einfache folge 2n/n, du weisst dass die nicht divergiert!
aber man kann natürlich zeigen, dass der Zähler immer grösser ist als der Nenner.
Es reicht einfach nicht, wenn du zeigst, dass [mm] 2^n>n [/mm] denn damit hast du nicht gezeigt, dass [mm] 2^n/n [/mm] divergiert. das wollte ich dir an dem Beispiel zeigen.
Wenn du zeigen kannst dass [mm] 2^n>n^2 [/mm] ist DANN kannst du sagen, [mm] 2^n/n>n^2/n=n [/mm] und damit ist [mm] 2^n/n [/mm] für grosse n beliebig gross.
Schon im 2.ten post hat dir loddar das geraten!
Warum gehst du nicht auf sowas ein? wenn du nicht verstehst, warum er das schreibt, dann frag nach, aber geh auf posts ein. es ist frustig immer wieder dasselbe zu schreiben, ohne echtes Echo.
kommentier posts, sag was du verstanden hast und was nicht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also soweit ihr euch da jetzt einig seid hab ich des ganze obwohl s mir eigentlich egal sein könnte verstanden.
Allerdings lässt mich die Aufgabe im moment nicht los aber auf einen "nenner" kommen tu ich auch ned!?
Die Bedingung (von leduart)hab ich soweit verstanden auch dass man dies am besten durch vollst Ind lösen muss allerdings habe ich keinen plan wie ich da dann anfangen muss?!? nicht wie immer mit n=1 sondern mit n=4 ?!?
wäre nett wenn ihr mir bei dem Verlauf helfen könntet?!??!?
|
|
|
| |
|
Hallo wildangel,
> Also soweit ihr euch da jetzt einig seid hab ich des ganze
> obwohl s mir eigentlich egal sein könnte verstanden.
>
> Allerdings lässt mich die Aufgabe im moment nicht los aber
> auf einen "nenner" kommen tu ich auch ned!?
>
> Die Bedingung (von leduart)hab ich soweit verstanden auch
> dass man dies am besten durch vollst Ind lösen muss
> allerdings habe ich keinen plan wie ich da dann anfangen
> muss?!? nicht wie immer mit n=1 sondern mit n=4 ?!?
Na, weil [mm]2^n\ge n^2[/mm] erst ab [mm]n=4[/mm] gilt.
Für [mm]n=1,2[/mm] passt es zwar, aber für [mm]n=3[/mm] gilt doch [mm]2^3=8\not\ge9=3^2[/mm]
Bei der Grenzwertbetrachtung interessierst du dich doch ohnehin nur für große [mm]n[/mm]. Was die "paar n" am Anfang machen, ist egal ...
>
> wäre nett wenn ihr mir bei dem Verlauf helfen
> könntet?!??!?
Nun weiter mit der Induktion und dann der bereits erwähnten Abschätzung ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TrockenNass!
Bitte stelle in Zukunft, derartige unabhängige Fragen / Aufgaben auch in separaten Threads.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
