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| Aufgabe 1 | Man zeige, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q^{n}=0 [/mm] für alle [mm] q\in(-1,1) [/mm] gilt.
Hinweis: Ein anwenden der Bernoullichen Ungleichung auf [mm] 1+n(|q|^{-1}-1) [/mm] führt zum Ziel. |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] q\in\IR [/mm] mit q>1 und [mm] a_{n}:=q^{n}. [/mm] Zeigen Sie das [mm] a_{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert. |
Meine Überlgeung war nun da ich keinen Ansatz über die Ungleichung habe zu zeigen das folgendes gilt:
q=1/k [mm] k\in\IR, [/mm] |k|>1
[mm] q^{n}=1/k^{n}
[/mm]
Damit denke ich könnte ich doch beides zeigen. Ich zeige das [mm] k^{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert und habe damit gezeigt das beides gilt.
Fraglich ist für mich jetzt nurnoch ob ich das so machen kann und wenn dann wo ich ansätzen sollte.
LG
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Michael2010 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man zeige, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}q^{n}=0[/mm] für
> alle [mm]q\in(-1,1)[/mm] gilt.
> Hinweis: Ein anwenden der Bernoullichen Ungleichung auf
> [mm]1+n(|q|^{-1}-1)[/mm] führt zum Ziel.
> Sei [mm]q\in\IR[/mm] mit q>1 und [mm]a_{n}:=q^{n}.[/mm] Zeigen Sie das [mm]a_{n}[/mm]
> gegen [mm]\infty[/mm] divergiert.
> Meine Überlgeung war nun da ich keinen Ansatz über die
> Ungleichung habe zu zeigen das folgendes gilt:
> q=1/k [mm]k\in\IR,[/mm] |k|>1
> [mm]q^{n}=1/k^{n}[/mm]
Hmm, wegen [mm]|q|<1[/mm] ist [mm]\frac{1}{|q|}>1[/mm]
Schreibe also [mm]\frac{1}{|q|}=:1+x[/mm] mit einem [mm]x>0[/mm]
Dann ist [mm]|q|^n=\frac{1}{(1+x)^n}[/mm]
Nun die Bernoulli-Ungleichung auf [mm](1+x)^n[/mm] anwenden: [mm](1+x)^n\ge 1+nx[/mm]
Also [mm]|q|^n=\frac{1}{(1+x)^n}\le\frac{1}{1+nx}\le\frac{1}{nx}[/mm]
Und was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]
Bedenke, dass andererseits für alle [mm]q\in(-1,1)[/mm] gilt [mm]|q|^n\ge 0[/mm]
...
>
> Damit denke ich könnte ich doch beides zeigen. Ich zeige
> das [mm]k^{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] divergiert und habe damit gezeigt
> das beides gilt.
>
> Fraglich ist für mich jetzt nurnoch ob ich das so machen
> kann und wenn dann wo ich ansätzen sollte.
>
> LG
> Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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danke für die schnelle Antwort hat gut geholfen =)
lg
Michael
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Hallo nochmal,
> Sei [mm]q\in\IR[/mm] mit q>1 und [mm]a_{n}:=q^{n}.[/mm] Zeigen Sie das [mm]a_{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] divergiert.
Hier könntest du mal versuchen zu zeigen, dass [mm](a_n)[/mm] unbeschränkt ist, also ein beliebiges [mm]M\in\IR^+[/mm] stets überschreitet.
Zeige also [mm]\forall M\in\IR^+ \ \exists N\in\IN: |q|^n \ > \ M[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Danke, denke das werde ich schaffen =)
lg
Michael
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