Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] b_{n}=\wurzel{n²+4n+6}-n [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] Untersuchen Sie [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit dem Sandwich-Lemma auf Konvergenz. |
Die Grundidee ist eigentlich klar. Aber nach welchem Kriterium suche ich [mm] a_{n} [/mm] und [mm] c_{n}. [/mm] Und das 2. Problem wäre das ich nicht genau weiss wie ich eine wurzel auf Konvergenz betrachten kann.
lg
Michael
Sandwich-Lemma:
Gilt: [mm] a_{n} \le b_{n} \le c_{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c_{n}
[/mm]
Dann gilt auch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}c_{n}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 14.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]b_{n}=\wurzel{n²+4n+6}-n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] Untersuchen
> Sie [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit dem Sandwich-Lemma auf
> Konvergenz.
> Die Grundidee ist eigentlich klar. Aber nach welchem
> Kriterium suche ich [mm]a_{n}[/mm] und [mm]c_{n}.[/mm] Und das 2. Problem
> wäre das ich nicht genau weiss wie ich eine wurzel auf
> Konvergenz betrachten kann.
>
Hallo,
schreibe Quadrate bitte mit ^2 und nicht mit der ²-Taste, sonst sieht man es in Formeln nicht.
[mm] \wurzel{n^2+4n+6} [/mm] würde ich umschreiben in [mm] \wurzel{(n+2)^2+2}
[/mm]
Das ist für alle n größer als [mm] \wurzel{(n+2)^2}, [/mm] und es ist für alle n kleiner als [mm] \wurzel{(n+3)^2}.
[/mm]
Gruß Abakus
> lg
> Michael
>
> Sandwich-Lemma:
> Gilt: [mm]a_{n} \le b_{n} \le c_{n}[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}c_{n}[/mm]
> Dann gilt auch:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}c_{n}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erstmal danke für die schnelle Antwort =)
Frage ist nur noch wie ich nun Die Konvergenz zeige. Denn mit [mm] |a_{n}- [/mm] a| < [mm] \varepsilon [/mm] werde ich da nicht weit kommen. Oder wäre eine Cauchy Folge besser geeignet. Denn den Grenzwert an sich brauch ich ja nicht.
lg
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 14.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solllst doch nur auf Konvergenz untersuchen mit dem Sandwich
sonst erweitere mit [mm] \wurzel{...}+n
[/mm]
Gruss leduart
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Ja aber [mm] b_n [/mm] ist doch nur konvergent wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] auch konvergent sind oder nicht? Muss ich das dann nicht auch noch zeigen?
lg
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 14.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
hast du dein [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] denn mal hingeschrieben, was für Folgen sind das denn?
kannst du noch welche finden, die näher an der "Mitte" sind?
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Ich komme auf:
2 [mm] \le \wurzel{(n+2)^2+2}-n \le [/mm] 3
Da wäre dann keine Konvergenz gegeben oder wie?
Denn [mm] \wurzel{(n+2)^2+1}-n [/mm] und [mm] \wurzel{(n+2)^2+3}-n [/mm] liegen ja theoretisch doch näher oder? Vor allem bei [mm] (n+3)^2 [/mm] Wird ja noch das n variiert.
lg Michael
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Versuchs mal mit [mm]c_n=\sqrt{(n+2)^2+2+\frac{1}{(n+2)^2}}-n=\sqrt{((n+2)+\frac{1}{n+2})^2}-n[/mm]
Bis morgen in AfI dann  Und viel Erfolg mit den restlichen Ausgaben.
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