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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls
den Grenzwert:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}\bruch{(-e)^n^-^1}{\pi^n^+^1} [/mm] |
Hallo Matheraum.
Ich bin ganz neu hier und würde mich sher über eure Hilfe freuen.
Also mein Lösungsansatz ist:
[mm] \bruch{(-e)^n*\pi}{(-e)*\pi^n}
[/mm]
Wurzelkriterium: [mm] \bruch{-e}{\pi}*\wurzel[n]{\bruch{\pi}{(-e)}}
[/mm]
Irgendwie kann man nicht die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl (-e) ziehen.
Was hab ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz und
> berechnen Sie gegebenenfalls
> den Grenzwert:
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> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}\bruch{(-e)^n^-^1}{\pi^n^+^1}[/mm]
Willst du wirklich unendlich oft eine Konstante aufsummieren? Oder steht da an der Reihe als Laufindex doch eher n anstatt v??
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> Hallo Matheraum.
>
> Ich bin ganz neu hier und würde mich sher über eure Hilfe
> freuen.
>
> Also mein Lösungsansatz ist:
>
> [mm]\bruch{(-e)^n*\pi}{(-e)*\pi^n}[/mm]
???
Eher [mm]\frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1}}=-\frac{1}{e\pi}\cdot{}\left(-\frac{e}{\pi}\right)^n[/mm]
Den Faktor [mm]-\frac{1}{e\pi}[/mm] kannst du aus der Reihe rausziehen
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> Wurzelkriterium:
> [mm]\bruch{-e}{\pi}*\wurzel[n]{\bruch{\pi}{(-e)}}[/mm]
>
> Irgendwie kann man nicht die n-te Wurzel aus einer
> negativen Zahl (-e) ziehen.
Wie lautet denn das Wurzelkriterium??
Da taucht doch ein fetter Betrag in der Wurzel auf!
Und wieso vertauscht zu Zähler und Nenner??
Berechne [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] mit [mm]a_n=\left(-\frac{e}{\pi}\right)^n[/mm]
Alternativ denke nach der Umformung [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1}}=-\frac{1}{e\pi}\cdot{}\sum\limkits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{e}{\pi}\right)^n[/mm] mal an die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm]
Für welche [mm]q[/mm] konvergiert die?
Wie sieht's hier also aus?
Gruß
schachuzipus
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Also geometrische Reihe gefällt mir 
für [mm] q^k \le [/mm] q<1 konvergiert die Reihe [mm] q^k [/mm] oder ?
Und das reicht ja dann als Beweis wenn ich schreibe:
[mm] (\bruch{-e}{\pi})^n\le\bruch{e}{\pi}<1
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen,
Serge
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Hallo nochmal,
> Also geometrische Reihe gefällt mir
>
> für [mm]q^k \le[/mm] q<1 konvergiert die Reihe [mm]q^k[/mm] oder ?
Sagen wir lieber für [mm]|q|<1[/mm], also [mm]-1
>
> Und das reicht ja dann als Beweis wenn ich schreibe:
>
> [mm](\bruch{-e}{\pi})^n\le\bruch{e}{\pi}<1[/mm]
Wieder genauer: wegen [mm]\left|-\frac{e}{\pi}\right| \ < \ 1[/mm] konvergiert [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{e}{\pi}\right)^n[/mm], mithin auch deine Ausgangsreihe.
Kannst du sagen, wogegen die Ausgangsreihe konvergiert?
Nebenbei: geht's echt bei [mm]n=1[/mm] los oder doch bei [mm]n=0[/mm] ?
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> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Serge
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>
Gruß
schachuzipus
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