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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz. Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert. Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine Begründung an.
[mm] \vec{a_{k}}= (\bruch{1}{k^2},\bruch{1}{k^2}) [/mm] |
Hallo, also ich hätte das folgendermaßen gemacht: Wir vermuten, dass der Grenzwert 0 ist. Dann muss gelten [mm] |\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}| \to [/mm] 0 (für k gegen [mm] \infty) [/mm] und [mm] |\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}| [/mm] ist [mm] |\vec{a_{k}}|= \wurzel{\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{k^4}}=\wurzel{\bruch{2}{k^4}} [/mm] Wir wissen, dass [mm] \bruch{2}{k^4} \to [/mm] 0 (für k gegen [mm] \infty) [/mm] und wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion auf [mm] [0,\infty[ [/mm] ist auch [mm] \wurzel{\bruch{2}{k^4}} \to [/mm] 0 (für k gegen [mm] \infty). [/mm] Also ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}|=0 [/mm] Ist das so richtig?^^
Gruß David
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Hi,
> Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz.
> Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert
> und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert.
> Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine
> Begründung an.
> [mm]\vec{a_{k}}= (\bruch{1}{k^2},\bruch{1}{k^2})[/mm]
> Hallo, also
> ich hätte das folgendermaßen gemacht: Wir vermuten, dass
> der Grenzwert 0 ist. Dann muss gelten
> [mm]|\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}| \to[/mm] 0 (für k gegen [mm]\infty)[/mm]
> und [mm]|\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}|[/mm] ist [mm]|\vec{a_{k}}|= \wurzel{\bruch{1}{k^4}+\bruch{1}{k^4}}=\wurzel{\bruch{2}{k^4}}[/mm]
> Wir wissen, dass [mm]\bruch{2}{k^4} \to[/mm] 0 (für k gegen [mm]\infty)[/mm]
> und wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion auf [mm][0,\infty[[/mm]
> ist auch [mm]\wurzel{\bruch{2}{k^4}} \to[/mm] 0 (für k gegen
> [mm]\infty).[/mm] Also ist
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\vec{a_{k}}-\vektor{0 \\ 0}|=0[/mm]
> Ist das so richtig?^^
Die Begründung "Wegen der Stetigkeit ..." ist hier unangebracht. Die e-Funktion ist auch stetig, aber [mm] e^{2/k^4}\to1, k\to\infty.
[/mm]
Es geht darum zu zeigen, dass [mm] b_k=\sqrt{\frac{2}{k^4}} [/mm] eine Nullfolge ist. Dazu zum Beispiel [mm] 0<\sqrt{\frac{2}{k^4}}=\frac{\sqrt{2}}{k^2}<\frac{1}{k} [/mm] für [mm] k\geq2.
[/mm]
Dass 1/k gegen 0 geht, ist bekannt.
> Gruß David
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe, also die Bedingung für k [mm] \ge [/mm] 2 kann ich ja so aufschreiben und nach dem "Sandwichprinzip" muss ja [mm] \bruch{\wurzel{2}}{k^2} [/mm] Null sein oder?:)
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
> und nach dem "Sandwichprinzip" muss ja [mm]\bruch{\wurzel{2}}{k^2}[/mm] Null sein oder?:)
Du meinst das Richtige. Aber der Grenzwert für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] ist Null, nicht der Term selber.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
ja das mein ich^^ sorry:)
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