Konvergenz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 07.07.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{4}}} dx}
[/mm]
konvergiert und berechnen Sie ggf ihren Wert. |
Also man sieht doch sofort, dass das integral gegen unendlich strebt, also divergiert, aber wie würde ich das beweisen.
LG
al3pou
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Hallo al3pou,
> Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{4}}} dx}[/mm]
>
> konvergiert und berechnen Sie ggf ihren Wert.
> Also man sieht doch sofort, dass das integral gegen
> unendlich strebt, also divergiert, aber wie würde ich das
> beweisen.
Nun, schätze es gegen eine divergente Minorante ab.
Teile dazu das Integral auf:
[mm]\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{x}{\sqrt{1+x^4}} \ dx} \ = \ \int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^4}} \ dx}+\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{x}{\sqrt{1+x^4}} \ dx}[/mm]
Nun ist der Integrand [mm]f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^4}}[/mm] stetig auf dem Kompaktum [mm][0,1][/mm] (wieso?) und nimmt daher dort sein Maximum an (wieso?), das erste Integral ist also beschränkt durch irgend ein [mm]M\in \IR[/mm]
Es genügt also, Divergenz des "Reststücks" zu zeigen:
Das hintere Integral schätze nun also gegen eine divergente Minorante ab, also ein "kleineres Integral", das bekanntermaßen divergent ist bzw. von dem man es sehr sehr leicht zeigen kann.
Bastel etwas hin mit [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}[/mm]
Dass dieses Ding divergent ist, ist leicht einzusehen, habt ihr vllt. auch schon gezeigt, du kannst es aber auch schnell ausrechnen ...
Du kannst das Ausgangsintegral auch ausrechnen, was aber vergleichsweise sehr mühsam ist ...
>
> LG
> al3pou
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 07.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Auf dem Kompaktum [0,1] ist es stetig, weil ich zu jeder Stelle einen Funktionswert errechnen kann bzw weil
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm]
ist. Ich wüsste nicht, warum ich das Max. annehmen soll, aber der erste Teil konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Dann kann ich erstmal den "Rest" umformen zu
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}+x^{2}}} dx} [/mm]
und dann kann ich das durch weitere Abschätzschritte gegen
[mm] \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}
[/mm]
abschätzen und weil das ja divergiert, divergiert auch mein uneigentliches Integral.
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Hallo nochmal,
> Auf dem Kompaktum [0,1] ist es stetig, weil ich zu jeder
> Stelle einen Funktionswert errechnen kann
Aha ...
> bzw weil
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> ist.
Also Komposition auf $[0,1]$ stetiger Funktionen ist $f(x)$ stetig, es gibt keine Pole, also kein Problem, alles harmlos!
> Ich wüsste nicht, warum ich das Max. annehmen soll,
Das tun stetige Funktionen auf kompakten Intervallen, schaue mal in dein Skript, das habt ihr mit Sicherheit schon gezeigt oder zumindest erwähnt ...
> aber der erste Teil konvergiert gegen
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
Das halte ich für ein Gerücht!
Der Wert ist aber egal, Hauptsache endlich ...
>
> Dann kann ich erstmal den "Rest" umformen zu
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}+x^{2}}} dx}[/mm]
>
> und dann kann ich das durch weitere Abschätzschritte gegen
>
> [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}[/mm]
>
> abschätzen
Aha, und wie? Du musst nach unten abschätzen und nicht nach oben, [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] (bzw. das Integral darüber) ist eine divergente Majorante, das nützt dir nix!
> und weil das ja divergiert, divergiert auch
> mein uneigentliches Integral.
Das wäre dann der Schluss, aber die Minorante ist keine!
Ich sagte ja auch "etwas mit" [mm] $\int{\frac{1}{x} \ dx}$ [/mm] und nicht "genau dieses Integral"
Es wird wohl auf ein geeignetes Vielfaches von [mm] $\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}$ [/mm] hinauslaufen ...
Die konkrete Abschätzung steht noch aus, schreibe die mal hin!
Und bitte nicht in Prosa :" das kann ich dann gegen ... abschätzen", sondern schön mit ner Ungleichung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 07.07.2011 | | Autor: | al3pou |
okay also der Wert für den ersten Teil müsste eigentlich
[mm] \bruch{\wurzel{2}-1}{2}
[/mm]
sein. Abschätzen würde ich so :
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}+x^{2}}} dx} \ge \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{x dx} [/mm]
und das Integral divergiert.
Oh die Abschätzung ist falsch fällt mir grade auf. So würde ich das doch nicht machen oder? Naja aber am Ende stimmt es doch trotzdem oder?
LG
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Hallo nochmal,
> okay also der Wert für den ersten Teil müsste eigentlich
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}-1}{2}[/mm] sein.
Nö, der Compi sagt [mm]\frac{\ln(\sqrt{2}+1)}{2}[/mm]
Aber der Wert ist ja auch Latte, wir wissen, dass er endlich ist, das genügt uns vollkommen
> Abschätzen würde ich so :
>
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}+x^{2}}} dx} \ge \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{\bruch{1}{x^{4}}}} dx}[/mm]
Nein, es ist doch wohl [mm]\sqrt{\frac{1}{x^4}+x^2}} > \sqrt{\frac{1}{x^2}}[/mm]
Also im Kehrwert dann [mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^4}+x^2}} \ \red{<} \ \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^4}}}[/mm]
Also hast du wieder eine divergente Majorante, das hilft goar nix!
Du musst den Nenner schon vergrößern, wenn du was kleineres haben willst
Bsp. [mm]\frac{1}{2} \ > \ \frac{1}{2\cdot{}2}=\frac{1}{4}[/mm]
> = [mm]\integral_{1}^{\infty}{x dx}[/mm]
>
> und das Integral divergiert.
> Oh die Abschätzung ist falsch fällt mir grade auf.
Jo
> So würde ich das doch nicht machen oder?
Nee, besser nicht!
> Naja aber am Ende
> stimmt es doch trotzdem oder?
>
Nein, du hast ein "größeres Integral", das divergiert, damit divergiert dein kleineres noch lange nicht ...
Du musst in die andere Richtung abschätzen ...
Tipp: Für [mm]x\ge 1[/mm] ist [mm]x^4\ge 1[/mm] und damit [mm]\frac{1}{x^4}\le 1[/mm]
Nun aber ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 07.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Aaaaaaaaaaaaaaaaaah.... ich bin zu dumm. Ich bekomme es nicht hin eine Minorante zu finden.
[mm] \sqrt{\bruch{1}{x^{4}}+1} [/mm] < ?
[mm] \sqrt{\bruch{1}{x^{4}}+1} [/mm] < [mm] \sqrt{\bruch{1}{x^{4}}+x}
[/mm]
oder wie? -.-
Da musste nen "+1" hin. Hab mich vertan, also nicht wundern.
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Hallo nochmal,
>
> Aaaaaaaaaaaaaaaaaah.... ich bin zu dumm.
Nana!
> Ich bekomme es
> nicht hin eine Minorante zu finden.
>
> [mm]\sqrt{\frac{1}{x^4}+1} < [/mm] ?
>
> [mm]\sqrt{\frac{1}{x^4}+1} < \sqrt{\frac{1}{x^4}+x}[/mm]
>
> oder wie? -.-
> Da musste nen "+1" hin. Hab mich vertan, also nicht
> wundern.
Naja, es ist doch [mm]\frac{1}{x^4}\le 1[/mm], da wegen [mm]x\ge 1[/mm] auch [mm]x^4\ge 1[/mm] ist.
Also ist [mm]\frac{1}{x^4}+1\le 1+1=2[/mm] und wegen der Monotonie der Wurzel dann auch [mm]\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}\le\sqrt{2}[/mm] und daher [mm]x\cdot{}\sqrt{\frac{1}{x^4}+1}\le x\cdot{}\sqrt{2}[/mm]
Jetzt aber ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
wir hatten ein paar Male übergangen, dass die erste Umformung so aussieht:
[mm]\frac{x}{\sqrt{1+x^4}}=\frac{1}{x\cdot{}\sqrt{\frac{1}{x^4}+\red{1}}}[/mm]
Da hatte sich desöfteren zwischendurch ein [mm]\red{x^2}[/mm] statt der [mm]\red{1}[/mm] eingeschlichen ...
Achte darauf auch nochmal!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 07.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Also verstehe ich das richtig und meine Minorante wäre dann
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{2}} dx}
[/mm]
????
Ich hab das mal eben anders gemacht. Ich hab einfach die Stammfunktion berechnet, das fand ich einfacher. Die ist
F(x) = [mm] 0,5*arsinh(x^{2})
[/mm]
und man weiß ja, wie der verläuft. Also weiß kann man sich denken, dass das integral gegen [mm] \infty [/mm] läuft.
LG
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Hallo nochmal,
> Also verstehe ich das richtig und meine Minorante wäre
> dann
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\wurzel{2}} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x} \ dx}$
[/mm]
Damit hast du deine divergente Minorante!
>
> ????
> Ich hab das mal eben anders gemacht. Ich hab einfach die
> Stammfunktion berechnet, das fand ich einfacher. Die ist
>
> F(x) = [mm]0,5*arsinh(x^{2})[/mm]
Ok, das mag hier gehen, aber idR kannst du Integrale doch gar nicht explizit lösen.
Außerdem merke ich mir solche krummen Integrale nicht ...
Bis ich (wenn überhaupt) darauf gekommen wäre, hätte ich wohl einiges an Bastelarbeit reinstecken müssen ...
Dann gibt man sich mit einer Abschätzung zufrieden.
Und diese war nur wahrlich nicht allzu schwierig.
Das Aufteilen des Integrals ist ein Standardmanöver ...
Lohnt sich also zu merken 
>
> und man weiß ja, wie der verläuft. Also weiß kann man
> sich denken, dass das integral gegen [mm]\infty[/mm] läuft.
Naja, Hauptsache, du kannst es auch beweisen. Wie ist letztlich egal.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 07.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{4}}} dx}[/mm]
>
> konvergiert und berechnen Sie ggf ihren Wert.
> Also man sieht doch sofort, dass das integral gegen
> unendlich strebt,
....................so, wie denn ....?
FRED
> also divergiert, aber wie würde ich das
> beweisen.
>
> LG
> al3pou
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