Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x,t) eine [mm] L^\infty(\mathbb{R}^{2}) [/mm] Funktion, die gegen die [mm] L^\infty [/mm] Funktion f(x,0) für [mm] t\rightarrow0 [/mm] konvergiert.
Gilt diese Konvergenz dann auch in [mm] L^{1}? [/mm] |
Hallo,
damit meine ich, gilt dann auch [mm] \int_{\mathbb{R}}|f(x,t)-f(x,0)|dx\to0 [/mm] für [mm] t\to0?
[/mm]
Also wenn [mm] f(x,t)\to [/mm] f(x,0) gleichmäßig, dann ist [mm] \int_{\mathbb{R}}|f(x,t)-f(x,0)|dx\leq||f(x,t)-f(x,0)||_{\infty}\to0 [/mm] für [mm] t\to0 [/mm] oder? (auch wenn das das Supremum über alle x ist?).
Wenn da jetzt aber mal nur [mm] lim_{t\to0}f(x,t)=f(x,0) [/mm] steht, dann gehe ich immer von punktweiser Konvergenz aus. Gilt denn dann auch [mm] \int_{\mathbb{R}}|f(x,t)-f(x,0)|dx\to0 [/mm] für [mm] t\to0?
[/mm]
Ich dachte mir, man könnte das vielleicht auch so machen: Es sind f(x,t) und f(x,0) beschränkte Funktionen. Dann sollte doch das Theorem der majorisierenden Konvergenz anwendbar sein, d.h. [mm] \underset{t\to0}{\lim}||f(\cdot,t)-f(\cdot,0)||_{L^{1}}=\underset{t\to0}{\lim}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x,t)-f(x,0)|dx=\int_{-\infty}^{\infty}\underset{t\to0}{\lim}|f(x,t)-f(x,0)|dx=0. [/mm]
Meiner Meinung nach stimmt das. Oder gibt es irgendwelche Einwände?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 30.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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