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| Aufgabe | a) Weisen Sie anhand der Definition die Cauchyfolgen-Eigenschaft nach:
[mm] a_{n} [/mm] = 1 + ( [mm] (-1)^{n}/n^{3} [/mm] ).
b) Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge [mm] a_{1} [/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+a_{n}} [/mm] . |
Hallo!
Zur a) habe ich schon eine Lösung. Könnte da vielleicht mal jemand schauen, ob man das so machen kann?
Man muss ja praktisch nur zeigen, dass [mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] gegen 0 strebt für n,m [mm] \to \infty.
[/mm]
Also: [mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] = |1+ [mm] ((-1)^{n}/n^{3} [/mm] - (1 + [mm] ((-1)^{m}/m^{3} [/mm] ) | = | [mm] (-1)^{n}/n^{3} [/mm] - [mm] (-1)^{m}/m^{3} [/mm] | .
Hier könnte man eine Fallunterscheidung machen für :
1. n, m gerade
2. n, m ungerade
3. n gerade, m ungerade
4. n ungerade, m gerade
aber das würde ja lediglich ändern ob da jeweils quasi [mm] -1/\infty [/mm] (was gegen 0 strebt) oder [mm] 1/\infty [/mm] (was auch gegen 0 strebt) steht. was ja eigentlich egal ist. wichtig ist doch nur, DASS es gegen 0 strebt und somit auch ganz | [mm] (-1)^{n}/n^{3} [/mm] - [mm] (-1)^{m}/m^{3} [/mm] | .
Kann man das so sagen?
und jetzt zu b)
Da bin ich vollkommen aufgeschmissen.
Kann man überhaupt direkt von einer rekursiven Folge den Grenzwert bestimmen, bzw sagen ob sie konvergiert? Oder muss man sie zuerst zu einer expliziten Folge umformen? Und wenn ja, wie macht man das?
Oder muss man mit dem Satz ansetzen, dass Konvergenz aus der Kombination von Monotonie und Beschränktheit folgt?
Ich würde mich seeeehr über Hilfe freuen!
Grüße 
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Hallo,
> a) Weisen Sie anhand der Definition die
> Cauchyfolgen-Eigenschaft nach:
> [mm]a_{n}[/mm] = 1 + ( [mm](-1)^{n}/n^{3}[/mm] ).
Wie lautet die komplette Aufgabenstellung??
> b) Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge [mm]a_{1}[/mm]
> = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+a_{n}}[/mm] .
Aha! Und du sollst was zeigen?
So schlampige posts liebe ich besonders, wo man sich aus dem Lösungsansatz/der Lösung zusammenreimen muss, worum es geht ...
Herrlich!!
Das nur als Kommentar meinerseits.
Schönen Abend!
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Hallo Mathe-Lily,
ich schließe mich vorab der Beurteilung meines Vorredners an: etwas mehr Mühe bei der korrekten Wiedergabe wäre hilfreich und für Helfer viel motivierender!
> b) Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge [mm]a_{1}[/mm]
> = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+a_{n}}[/mm] .
Was auch immer da zu beweisen sein soll. Schauen wir uns die Folge einfach mal an.
> und jetzt zu b)
> Da bin ich vollkommen aufgeschmissen.
> Kann man überhaupt direkt von einer rekursiven Folge den
> Grenzwert bestimmen, bzw sagen ob sie konvergiert?
Ja, das kann man oft.
> Oder
> muss man sie zuerst zu einer expliziten Folge umformen? Und
> wenn ja, wie macht man das?
Das ist meist schwierig, aber oft möglich.
> Oder muss man mit dem Satz ansetzen, dass Konvergenz aus
> der Kombination von Monotonie und Beschränktheit folgt?
Na, das könntest Du hier ja schonmal versuchen.
Die Folge ist monoton wachsend (anders bei anderen Startwerten: für [mm] a_1=2 [/mm] ist sie z.B. monoton fallend), und sie ist nach oben beschränkt. Du könntest z.B. einfach mal zeigen, dass 2 eine obere Schranke ist (wie gesagt für den Startwert [mm] a_1=1).
[/mm]
Wenn die Folge konvergiert, dann muss gelten:
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}
[/mm]
Allein daraus kann man den Grenzwert bestimmen, und bekommt eine Zahl, die gemeinhin als [mm] \phi [/mm] bezeichnet wird.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 17.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Weisen Sie anhand der Definition die
> Cauchyfolgen-Eigenschaft nach:
> [mm]a_{n}[/mm] = 1 + ( [mm](-1)^{n}/n^{3}[/mm] ).
> b) Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge [mm]a_{1}[/mm]
> = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+a_{n}}[/mm] .
> Hallo!
> Zur a) habe ich schon eine Lösung. Könnte da vielleicht
> mal jemand schauen, ob man das so machen kann?
>
> Man muss ja praktisch nur zeigen, dass [mm]|a_{n}-a_{m}|[/mm] gegen
> 0 strebt für n,m [mm]\to \infty.[/mm]
Da steht aber: "anhand der Definition". Welches ist denn diese?
> Also: [mm]|a_{n}-a_{m}|[/mm] = |1+
> [mm]((-1)^{n}/n^{3}[/mm] - (1 + [mm]((-1)^{m}/m^{3}[/mm] ) | = |
> [mm](-1)^{n}/n^{3}[/mm] - [mm](-1)^{m}/m^{3}[/mm] | .
> Hier könnte man eine Fallunterscheidung machen für :
> 1. n, m gerade
> 2. n, m ungerade
> 3. n gerade, m ungerade
> 4. n ungerade, m gerade
> aber das würde ja lediglich ändern ob da jeweils quasi
> [mm]-1/\infty[/mm] (was gegen 0 strebt) oder [mm]1/\infty[/mm] (was auch
> gegen 0 strebt) steht. was ja eigentlich egal ist. wichtig
> ist doch nur, DASS es gegen 0 strebt und somit auch ganz |
> [mm](-1)^{n}/n^{3}[/mm] - [mm](-1)^{m}/m^{3}[/mm] | .
Am einfachsten ist es, die Dreiecksungleichung zu benutzen:
[mm] \left |(-1)^{n}/n^{3} - (-1)^{m}/m^{3} | \le \bruch{1}{n^3} + \bruch{1}{m^3} [/mm].
Zeige nun also, dass für ein gegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt: es gibt eine natürliche Zahl N, sodass [mm] $\bruch{1}{n^3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m^3} <\varepsilon$, [/mm] wenn $n,m>N$ .
Tipp: du kannst der Einfachheit annehmen, dass z.B. [mm] $n\ge [/mm] m$ ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 20.11.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Tut mir Leid, dass ich das Ende der Aufgabe vergessen habe aufzuschreiben! Ich hab eigentlich extra nochmal drauf geschaut, aber mir war die Aufgabe wohl schon so klar, dass ich fehlerblind wurde -.- Also: Tut mir Leid!!!
Und danke für die Antworten!
Ich werde mich sofort nochmal dransetzen und schauen, ob ich jetzt etwas damit anfangen kann
DANKE
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