Konvergenz - Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich möchte feststellen ob folgende Reihen konvergieren:
1)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
Hier bietet sich das Quotientenkriterium an:
[mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(n+1)! \cdot{} n^n}{n! \cdot{} n^{n+1}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(n+1)!}{n! \cdot{} n} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(n+1)}{n} \right| [/mm] = 1
Wenn ich als Ergebnis 1 bekomme heißt bedeutet das, dass ich keine Aussage treffen kann oder?
2)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \cdot{} [/mm] (e - [mm] (1+\bruch{1}{n})^n)
[/mm]
Wieder Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{e - (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}}{e - (1+\bruch{1}{n})^n} \right|
[/mm]
Nur wie geht es jetzt weiter? Der Ausdruck [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] wird ja zu e, aber was passiert mit [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] ???
3) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \cdot{} \bruch{\ln(n)}{n}
[/mm]
Hier weiß ich gar nicht weiter - Quotientenkriterium wird wohl wieder nicht zum Erfolgt führen oder?
4) Wie beweise ich, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{4^k} [/mm] = 1 ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:46 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Bei der Aufgabe 4 liegt eine geometrische Reihe vor:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3}{4^k} [/mm] \ = \ [mm] 3*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4^k} [/mm] \ = \ [mm] 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{4}\right)^k [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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hm ja schon, aber wenn q = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] dann ist [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] und das mit 3 multipliziert ergibt leider nicht 1. oder habe ich einen Fehler?
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Hallo mtu,
die geometrische Reihe geht bei k=0 los, deine (erst) ab k=1
Du musst also den ersten Summanden (für k=0) noch von deinem GW abziehen,
also [mm] 3\cdot{}\left(\frac{1}{4}\right)^0=3\cdot{}1=3
[/mm]
Also 4-3=1 - passt 
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:52 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Da es sich um eine alternierende Reihe handelt, bietet sich doch das LEIBNIZ-Kriterieum an.
Zeige also, dass es sich bei [mm] $\bruch{\ln(n)}{n}$ [/mm] um eine monoton fallende Nullfolge handelt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:56 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Wenn ich als Ergebnis 1 bekomme heißt bedeutet das, dass
> ich keine Aussage treffen kann oder?
Richtig erkannt. Aber versuche es doch hier mal mit dem Wurzelkriterium.
Gruß
Loddar
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Das Wurzelkriterium bereitet mir immer Schwierigkeiten, deshalb versuche ich es meistens zu vermeiden, ich hab es jetzt mal wieder versucht:
[mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \cdot{} \wurzel[n]{n!}
[/mm]
und was sagt mir das? Ich kann den Term leider nicht weiter vereinfachen, kannst du mir vielleicht bitte helfen?
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Hallo nochmal,
> Das Wurzelkriterium bereitet mir immer Schwierigkeiten,
> deshalb versuche ich es meistens zu vermeiden, ich hab es
> jetzt mal wieder versucht:
>
> [mm]\wurzel[n]{a_n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n} \cdot{} \wurzel[n]{n!}[/mm]
>
> und was sagt mir das? Ich kann den Term leider nicht weiter
> vereinfachen, kannst du mir vielleicht bitte helfen?
Das ist in der Tat ein "doofer" Ausdruck, denn [mm] $\frac{1}{n}\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] und [mm] $\sqrt[n]{n!}\rightarrow\infty$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Bei der Reihe biste m.E. mit dem QK besser bedient - s. anderen post
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Es klappt auch mit dem Wurzelkriterium:
[mm] $\wurzel[n]{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel[n]{1}*\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{3}*...*\wurzel[n]{n}}{n}$
[/mm]
Und für jeden einzelnen Ausdruck im Zähler gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] \ = \ 1$ ...
Gruß
Loddar
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Vielen Dank, also bekomme ich dann als Ergebnis [mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < 1 also konvergent???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Der Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}$ [/mm] stimmt nicht ganz. Da kommt $0_$ raus.
Aber die Konvergenz stimmt ...
Gruß
Loddar
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OK, weil der letzte Term im Zähler [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] zu n und somit rausgekürzt werden kann.
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> 2)
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \cdot{}[/mm] (e -
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n)[/mm]
>
> Wieder Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{e - (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}}{e - (1+\bruch{1}{n})^n} \right|[/mm]
>
> Nur wie geht es jetzt weiter? Der Ausdruck
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] wird ja zu e, aber was passiert mit
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] ???
Hallo,
dasselbe passiert damit.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}=\limes_{(n-1)\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n},
[/mm]
und wenn n-1 gegen unendlich geht, bedeutet das ja, daß n gegen unendlich geht, also
[mm] ...=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}=e
[/mm]
Ich würde nun einen Versuch mit l'Hospital starten.
Aber warum nimmst Du eigentlich nicht das Leibniz_Kriterium?
Gruß v. Angela
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Leibniz - ich verstehe:
Also muss die Folge e - [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] eine Nullfolge sein, damit die Reihe konvergiert.
[mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] e - [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = e - e = 0, also konvergiert diese Reihe. richtig so?
Gegenbeispiel: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \cdot{} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n) [/mm] ist divergent, (sorry, wollt ich mir nur verdeutlichen, weil ich bis jetzt noch nicht so oft divergente reihen gesehen habe)
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Hallo mtu,
> Leibniz - ich verstehe:
>
> Also muss die Folge e - [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] eine Nullfolge
> sein, damit die Reihe konvergiert.
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}[/mm] e - [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = e - e = 0,
> also konvergiert diese Reihe. richtig so?
noch nicht ganz - Nullfolge ist schon gut und richtig - fehlt noch die Monotonie (mon. fallende Nullfolge)
>
> Gegenbeispiel: [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^n \cdot{}[/mm] (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})^n)[/mm] ist divergent, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (sorry, wollt ich mir nur
> verdeutlichen, weil ich bis jetzt noch nicht so oft
> divergente reihen gesehen habe)
LG
schachuzipus
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Hallo,
du hast dich bei der ersten Reihe vertan.
Das QK bringt dir auch die Konvergenz
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)!}{\red{(n+1)^{n+1}}}\cdot{}\frac{n^n}{n!}=...=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n\rightarrow \frac{1}{e}<1$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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merci vielmals. aus übungszwecken würd mich das wurzelkriterium für diese reihe, aber trotzdem interessieren. ich schaffe es jedoch nicht, siehe beitrag oben.
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Es tut mir sehr leid, aber ich habe noch eine Reihe gefunden, mit der ich Probleme habe. Ich möchte wissen für welche x die Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{(2n-1)!} (-1)^{n+1}
[/mm]
QK: [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2n-1)! \cdot{} x^{2n+1}}{(2n+1)! \cdot{} x^{2n-1}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2n-1)!}{(2n+1)!} x^{2} \right| [/mm] = [mm] x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{1}{n(n+1)} \right| [/mm] = [mm] x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{1}{n^2+n} \right| [/mm] = [mm] x^2 \cdot{} [/mm] 0 = 0
Naja 0 ist immer kleiner als 1, also spielt der Wert von x hier gar keine Rolle? Das kann nicht so ganz stimmen, oder?
Wäre es auch möglich ein x zu finden, für welches die Folge eine monton fallende Nullfolge ist?
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Hallo mtu,
zunächst mal sollte man festhalten, dass diese Reihe eine [mm] \emph{Potenzreihe} [/mm] ist und man für gewöhnlich den Kgzradius derselben feststellen muss
> Es tut mir sehr leid, aber ich habe noch eine Reihe
> gefunden, mit der ich Probleme habe. Ich möchte wissen für
> welche x die Reihe konvergiert.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{(2n-1)!} (-1)^{n+1}[/mm]
>
> QK: [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2n-1)! \cdot{} x^{2n+1}}{(2n+1)! \cdot{} x^{2n-1}} \right|[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2n-1)!}{(2n+1)!} x^{2} \right|[/mm]
> = [mm]x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{1}{\red{2n(2n+1)}} \right|[/mm]
> = [mm]x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{1}{n^2+n} \right|[/mm]
> = [mm]x^2 \cdot{}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 = 0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Naja 0 ist immer kleiner als 1, also spielt der Wert von x
> hier gar keine Rolle? Das kann nicht so ganz stimmen,
> oder?
Wieso nicht? $x^2\cdot{}0=0$ für jedes feste x
Das heißt doch, dass der Konvergenzradius dieser Reihe $\infty$ ist, die Reihe also für alle $x\in \IR$ konvergiert
Eigentlich gibt es ein "eigenes" Konvergenzkriterium für Potenzreihen, das sog. Kriterium von Cauchy-Hadamard
Danach berechnet man - falls existent - für die Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
$r:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
Dann ist der Kgzradius $R:=\frac{1}{r}$, wobei man $\frac{1}{0}:=\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$ setzt
Dh. die Reihe konvergiert für $|x|<R$
Hier wäre also zu berechnen $\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\right|}$
Das ist - nach Nachrechnen - $\frac{1}{0}=\infty$
Gruß
schachuzipus
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ich glaub nicht, dass das stimmt, deshalb werde ich mal x= 1000 wählen und versuchen ob das wirklich konvergiert... :)
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Nimm sicherheitshalber x=1000000
Lg
schachuzipus
(Kleiner Spaß)
N8
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Danke, nur wie zerlegt man diese unmenschliche Wurzel unter dem Bruch? Beim Wurzelkriterium wird aber die [mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] nie durch die [mm] \wurzel[2n-1]{a_n} [/mm] bei gegebenem Anlass ersetzt oder?
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Hallo nochmal,
schauen wir uns die Reihe mal genauer an:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}=:\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k$ [/mm] mit [mm] $a_k=\begin{cases} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}, & \mbox{falls } \exists n\in\IN:k=2n-1 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
Es sind also ne Menge Reihenglieder = 0.
Um die bei der Betrachtung rauszunehmen, berechnet man halt [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\right|}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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hm ja und es bereitet mir schwierigkeiten die (2n-1)te wurzel aus dem term zu ziehen:
[mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\right|} [/mm]
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Hi again,
hier ist es nicht so schwer,
du kennst [mm] $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{k!}}=0$
[/mm]
Das müsste irgendwo in Ana I bei der Herleitung des Konvergenzradius der Exponentialreihe mal drangewesen sein
Und damit doch ebenso [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\frac{1}{(2n-1)!}}$
[/mm]
Ist ja quasi nur $k$ durch $2n-1$ ersetzt
LG
schachuzipus
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Aber für die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{(2n-1)} (-1)^{n+1} [/mm] bekomme ich einen Konvergenzradius von 1.
Mit [mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)}\right|} [/mm] ergibt sich dann aber wieder ein Konvergenzradius von unendlich?
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Hi,
> Aber für die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n-1}}{(2n-1)} (-1)^{n+1}[/mm]
> bekomme ich einen Konvergenzradius von 1.
Wie bekommst du den denn? Der Kgzradius ist [mm] \infty
[/mm]
Zeig mal deine Rechnung, da muss irgendwo ein Haken sein
>
> Mit
> [mm]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)}\right|}[/mm]
> ergibt sich dann aber wieder ein Konvergenzradius von
> unendlich?
eben!
Gruß
schachuzipus
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[mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{x^{2n+1} (2n-1)}{x^{2n-1} (2n+1)} \right| [/mm] = [mm] x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2n-1)}{(2n+1)} \right| [/mm] = [mm] x^2 \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{(2 - \bruch{1}{n})}{(2 + \bruch{1}{n})} \right| [/mm] = [mm] x^2 \bruch{2-0}{2+0} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] < 1
soll ich es noch detailierter schreiben oder kannst du damit etwas anfangen?
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Ach das war die Reihe von oben, oder?
Wenn ja, hast du hier die Fakultäten vergessen, es ist
[mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=...=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x^2\cdot{}\frac{1}{2n(2n+1)}=x^2\cdot{}0=0<1$ $\forall x\in\IR$
[/mm]
Also Konvergenzradius [mm] $\infty$
[/mm]
Ich glaube, sowas in der Art stand aber oben auch schon mal
Gruß
schachuzipus
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hm nein, das ist eben der Unterschied zur anderen Reihe, dass keine Fakultät dabei ist....
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ok gut,
dann muss ja für (absolute) Kgz nach dem QK [mm] $|x^2|<1$ [/mm] sein, also [mm] $|x|^2<1$, [/mm] also $|x|<1$
Damit kannst du sagen, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}x^{2n-1}$ [/mm] für $|x|<1$ absolut konvergiert und für $|x|>1$ divergiert
Aber mit diesem Kriterium immer vorsichtig sein, damit du nicht bei [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] durch 0 teilst (es sind ja die meisten Reihenglieder 0)
Jetzt habe ich auch deine Frage von oben verstanden
Mit dem besser geeigneten Cauchy Hadamard Kriterium hattest du berechnet:
[mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)}\right|} [/mm] $
Das ist aber nicht [mm] \infty, [/mm] sondern 1!!!!.
Denn Zähler ist klar und Nenner: [mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[2n-1]{2n-1}=1
[/mm]
(es ist doch für alle k: [mm] \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{k}=1)
[/mm]
Dann passt das mit dem Kgzradius 1 auch
Gruß
schachuzipus
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Kontrollfrage:
Der Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{(n)!} [/mm] ist auch unendlich? Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
$r \ = \ [mm] \infty$ [/mm] ist richtig.
Gruß
Loddar
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Hallo, nochmals eine Bestimmung des Konvergenzradius
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x}{(x+1)^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{x \cdot{} (1+x)^n}{x \cdot{} (1+x)^{n+1}} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \left| \bruch{1}{1+x} \right| [/mm] < 1
Also muss das x > 0 sein, damit die Reihe konvergiert. Stimmt das so?
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Hallo mtu,
ich würde sagen, dass aus
[mm] $\left|\frac{1}{x+1}\right|<1$ [/mm] folgt:
[mm] $|x+1|>1\Rightarrow x>0\vee [/mm] x<-2$
Gruß
schachuzipus
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hm stimmt.
das Kriterium von Cauchy-Hadamard ist hier etwas schwierig oder? weil n in [mm] x^n [/mm] und in [mm] (x+1)^n [/mm] vorkommt, also das ganze wohl keine wirkliche Potenzreihe ist.
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Hallo,
jo, das ist KEINE Potenzreihe - sie hat ja nicht die Gestalt [mm] $\sum a_kx^k$
[/mm]
bzw. [mm] $\sum a_k(x-x_0)^k$
[/mm]
Also CH-Kriterium nicht anwendbar!
Gruß
schachuzipus
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