Konvergenz Cauchy-Produkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:36 So 29.11.2009 | | Autor: | Fraktal |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage zum Beweis dass das Cauchy-Produkt zweier absolut konvergenter Reihen a(k) und b(k) wieder absolut konvergent ist:
Wenn zwei konvergente Reihen a(k) und b(k) gegeben sind, und aus ihnen das Cauchy-Produkt gebildet wird, dann ist bekannt dass beliebige Umordnungen von a(k) und b(k) wieder konvergent sind.
Ist es korrekt dass aus der Konvergenz der Reihen folgt, dass ihr Produkt auch wieder konvergent sein muss? (da ja gewisser maßen zwei endliche Werte multipliziert werden) Also man dann den Beweis so führen kann, dass man zeigt, dass zwei für Partialsummen des Cauchy-Produktes für k > m aus N gilt: |a(k)| * b(k)| - |a(m)| * |b(m)| für N gegen unendlich gegen Null geht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 25.12.2009 | | Autor: | mathiko |
Hallo Fraktal,
erstmal: Das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] ist konvergent.
Ob man es auf iese Weise beweisen kann, weiß ich nicht. Als ich das gemacht habe, habe ich es so gemacht:
Behauptung: Seien [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty}b_k [/mm] absolut konvergente Reihen, dann ist ihr Produkt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_k [/mm] absolut konvergent.
Beweis:
[mm] \summe_{k=0}^{n}|c_k| =\summe_{0\le i,j\le n,i+j\le n}^{}|a_i||b_j| \le \summe_{0\le i,j \le n}^{}|a_i||b_j| [/mm] =
[mm] (\summe_{i=0}^{n} |a_i|)* (\summe_{j=0}^{n} |b_j|) \le (\summe_{i=0}^{\infty} |a_i|)* (\summe_{j=0}^{\infty} |b_j|)
[/mm]
Der Korrekteur war damit zufrieden... Vielleicht hilft die das weiter???
Gruß mathiko
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