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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz/Cauchy Produkt
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Konvergenz/Cauchy Produkt: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Fr 12.06.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
Gegeben seien die Potenzreihen
[mm] A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n} [/mm] und [mm] B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n} [/mm]

a) Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
b) Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} [/mm] des Cauchyproduktes
[mm] \summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x) [/mm]

a)

zu A(x): hier habe ich mittels Wurzelkriterium einen Konvergenradius von [mm] \delta=\infty [/mm] berechnet das Konvergenzintervall ist dann [mm] (-\infty,\infty) [/mm]

Somit konvergiert A(x) für alle [mm] x\in\IR [/mm]  //stimmt das soweit?
Dachte mir hier muss ich keine Betrachtung machen für [mm] |x|=\delta, [/mm] da [mm] \delta=\infty [/mm]


zu B(x): mittels Quotientenkriterium ergibt sich ein Konvergenzradius von [mm] \delta=2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe divergiert für [mm] |x|>\delta [/mm]

[mm] |x|=\delta: [/mm]

x=2: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}2^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm] a_{n}=n [/mm] keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig argumentiert?

x=-2: [mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n}n \Rightarrow [/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( wie oben)

Somit konvergiert B(x) für x [mm] \in [/mm] (-2,2)   //lieg ich hier richtig?

b)
hier komm ich nicht wirklich weit

vorgegangen bin ich folgendermaßen:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)) [/mm]

an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer verschwunden", was hier aber nicht der fall ist

was muss man jetzt tun?
oder hab ich mich einfach nur verrechnet?

        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Fr 12.06.2015
Autor: MathePower

Hallo Martin_Ph,

> Gegeben seien die Potenzreihen
>  [mm]A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n}[/mm] und


Hier ist eine Vereinbarung zu treffen wie [mm]n^{-n}[/mm] für n=0 definiert ist.


> [mm]B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n}[/mm]
>  
> a) Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
>  b) Berechnen Sie die Koeffizienten
> [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/mm] des Cauchyproduktes
>  [mm]\summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x)[/mm]
>  a)
>  
> zu A(x): hier habe ich mittels Wurzelkriterium einen
> Konvergenradius von [mm]\delta=\infty[/mm] berechnet das
> Konvergenzintervall ist dann [mm](-\infty,\infty)[/mm]
>  
> Somit konvergiert A(x) für alle [mm]x\in\IR[/mm]  //stimmt das
> soweit?
>  Dachte mir hier muss ich keine Betrachtung machen für
> [mm]|x|=\delta,[/mm] da [mm]\delta=\infty[/mm]
>  
>
> zu B(x): mittels Quotientenkriterium ergibt sich ein
> Konvergenzradius von [mm]\delta=2[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe divergiert für [mm]|x|>\delta[/mm]
>  
> [mm]|x|=\delta:[/mm]
>  
> x=2:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}2^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm]a_{n}=n[/mm]
> keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig
> argumentiert?
>  
> x=-2: [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n}n \Rightarrow[/mm]
> divergiert nach leibnizkriterium ( wie oben)
>
> Somit konvergiert B(x) für x [mm]\in[/mm] (-2,2)   //lieg ich hier
> richtig?
>  

Bis hierhin ist alles richtig. [ok]


> b)
>  hier komm ich nicht wirklich weit
>  
> vorgegangen bin ich folgendermaßen:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j))[/mm]
>  
> an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
>  bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer
> verschwunden", was hier aber nicht der fall ist
>  
> was muss man jetzt tun?
>  oder hab ich mich einfach nur verrechnet?


Verrechnet hast Du Dich nicht.

Berechne die ersten  5 Koeffiizienten des Cauchy-Produktes.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 01:54 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > b)
>  >  hier komm ich nicht wirklich weit
>  >  
> > vorgegangen bin ich folgendermaßen:
>  >  
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j))[/mm]
>  >  
> > an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
>  >  bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer
> > verschwunden", was hier aber nicht der fall ist
>  >  
> > was muss man jetzt tun?
>  >  oder hab ich mich einfach nur verrechnet?
>
>
> Verrechnet hast Du Dich nicht.

doch, es wurde geschludert: die *innere Summe* hat nicht [mm] $\infty$ [/mm] als Grenze...
(das am Anfang auch noch der gleiche Laufvariablennamen benutzt wird,
ist formal auch falsch; aber das ist eher ein Flüchtigkeitsfehler).

Und die Variable x ist gänzlich missachtet worden...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Tipp/korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Sa 13.06.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe oben

Hatte glaub ich doch einen kleinen Fehler drin

Bekomme nun
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n})(n-j)x^{n}) [/mm] , [mm] 0^{0}:=1 [/mm]
raus
Um jetzt die ersten 5 Koeffizienten zu bestimmen muss ich doch einfach j=0,...,4 und n=0,...,4 setzen oder?

Allerdings mach ich da iwas falsch, da ich auf [mm] c_{0}=c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0 [/mm] kommen würde

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 13.06.2015
Autor: Martin_Ph

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{n}....... [/mm]
hatte ich vergessen auszubessern

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{n}.......[/mm]
>  hatte ich vergessen auszubessern

sorry, hatte ich eben übersehen, dass Du dazu noch was geschrieben hast.

Aber Dein Ergebnis unten scheint ja nun eh zu stimmen, siehe

    https://matheraum.de/read?i=1060214

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> siehe oben
>  Hatte glaub ich doch einen kleinen Fehler drin
>  
> Bekomme nun
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n})(n-j)x^{n})[/mm]
> , [mm]0^{0}:=1[/mm]

da brauche ich gar nicht weiter drüberzugucken: passe erstmal die obere
Grenze der inneren Summe an.
Die hat nämlich mit dem unteren Index der [mm] $c_{...}$ [/mm] zu tun!

Danach rechne wenigstens ein [mm] $c_k$ [/mm] detailliert vor!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Fr 12.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\Rightarrow[/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm]a_{n}=n[/mm] keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig argumentiert?

wenn du mir dein Leibnitzkriterium mal erläutern konntest.
Ich kenne keines, aus dem du Divergenz schlussfolgern könntest.....

aber du hast natürlich recht: [mm] $a_n=n$ [/mm] ist keine Nullfolge, damit kann die Reihe nicht konvergieren.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Sa 13.06.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe oben

Naja nach Leibniz-Kriterium konvergiert eine alternierende Reihe, wenn die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist

da dies nicht der Fall ist dachte ich es divergiert nach Leibnitz

oder sollte man über Limes gehen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> siehe oben
>  Naja nach Leibniz-Kriterium konvergiert eine alternierende
> Reihe, wenn die Folge [mm](a_{n})[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist

wenn gilt:

    $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$

> da dies nicht der Fall ist dachte ich es divergiert nach
> Leibnitz

gilt doch noch lange nicht

    [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$.

(Andernfalls wären $A [mm] \iff [/mm] B$-Beweise ja alleine schon durch einen $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$-Beweis
beendet; warum? Stichwort: Kontrap....)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:51 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben seien die Potenzreihen
>  [mm]A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n}[/mm] und
> [mm]B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n}[/mm]
>  
> a) Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
>  b) Berechnen Sie die Koeffizienten
> [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/mm] des Cauchyproduktes
>  [mm]\summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x)[/mm]

na, es gilt doch für

    [mm] $A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm]

und

    [mm] $B(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm]

dann

    [mm] $(A*B)(x)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_{n-k} x^{n-k}*b_k x^k=\sum_{\red{n}=0}^\infty \underbrace{\left(\sum_{k=0}^\red{n} a_{\red{n}-k}b_k\right)}_{=c_\red{n}} x^\red{n}$ [/mm]

Beachte dabei bitte [mm] $x^{n-k}*x^k=x^{n-k+k}=x^n$. [/mm]

> vorgegangen bin ich folgendermaßen:

> $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}$ [/mm]

Drei Fehler: gleiche Laufvariablennamen, und dann bei der inneren Summe
die obere Grenze! Und wo ist Dein x hin?

[mm] $=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)) [/mm] $

Denk mal drüber nach, das stimmt so nicht. Die obere Grenze beim inneren
Summenzeichen ist zu korrigieren! Und x ist bei Dir verloren gegangen. (Da
Du das aber konsequent durchziehst, ist das mehr ein Kommentar als alles
andere. Man könnte es auch so aufschreiben, wie Du es tust; aber eigentlich
geht es halt um $(A*B)(x)=A(x)*B(x)=...$.)

Das Ganze hängt übrigens mit dem Faltungsprodukt zusammen:

    https://matheraum.de/read?i=1055931

Nicht umsonst heißt das Cauchy-Produkt auch Cauchy-Faltung.

Bsp.: [mm] $a_n=n^{-n}$ [/mm] und [mm] $b_n=(-1)^nn2^{-n}$ [/mm] liefern etwa

    [mm] $c_1=\sum_{k=0}^1 (1-k)^{-(1-k)}*(-1)^k [/mm] k [mm] 2^{-k}=...=0+0^{-0}*(-1)^1*1*2^{-1}=-1/2$, [/mm] sofern [mm] $0^{-0}=1\,.$ [/mm]

P.S. Du darfst auch [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] *einander vertauschen*...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Korrektur/ Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Sa 13.06.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe oben

Also hab es nun folgendermaßen gerechnet:

[mm] c_{n}=\summe_{j=0}^{n}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j) [/mm]

[mm] c_{0}=0 [/mm]
[mm] c_{1}=-\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] c_{2}=0 [/mm]
[mm] c_{3}=0 [/mm]
[mm] c_{4}=-\bruch{1}{54} [/mm]
stimmt das oder was hab ich diesmal übersehen/falsch gemacht?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 13.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> siehe oben
>  Also hab es nun folgendermaßen gerechnet:
>  
> [mm]c_{n}=\summe_{j=0}^{n}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)[/mm]

ich rechne mal nach: Mit [mm] $a_k=k^{-k}$ [/mm] (mit [mm] $0^{-0}=1/0^0=1$) [/mm] und [mm] $b_k=(-1)^kk2^{-k}$ [/mm] folgt

    [mm] $c_n=\sum_{k=0}^n (n-k)^{k-n}*(-1)^kk2^{-k}$ [/mm]

Könnte man durchaus noch weiter umformen...

> [mm]c_{0}=0[/mm]
>  [mm]c_{1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]c_{2}=0[/mm]
>  [mm]c_{3}=0[/mm]
>  [mm]c_{4}=-\bruch{1}{54}[/mm]

Ich bin ein wenig rechenfaul, ich schreibe mal eine Schleife für Octave/Matlab:
1: for n=1:5 % Hinweis: Feldnummerierung startet mit 1
2:   c(n)=0;
3:   for k=0:n-1
4:     c(n)=c(n)+((n-1)-k)^(k-(n-1))*(-1)^k*k*2^(-k); % wegen Feldnummerierung n-1 statt n
5:   end;
6:   disp(' ');
7:   n-1
8:   c(n)
9:   pause;
10: end


Wenn Du den Code laufen läßt, siehst Du erst den Index, danach den
zugehörigen "c-Wert". Mit Enter geht es weiter!

>  stimmt das oder was hab ich diesmal übersehen/falsch
> gemacht?

Das sieht gut aus! [ok]

(Weiterer Kontrollcode:
1: for k=1:5
2:   A(k)=(k-1)^(-(k-1));
3:   B(k)=(-1)^(k-1)*(k-1)*2^(-(k-1));
4: end;
5: Ergebnis = conv(A,B).';
6: Ergebnis = Ergebnis(1:5)

Hier kommen als Ergebnis die [mm] $c_k$ [/mm] von oben nach unten (k wachsend) raus:
   0.00000
  -0.50000
   0.00000
   0.00000
  -0.01852

Die letzte Zahl ist gerundet...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz/Cauchy Produkt: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Sa 13.06.2015
Autor: Martin_Ph

Vielen Dank für die Erklärungen

Bezug
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