Konvergenz/ Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 23.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden auf Konvergenz bzw. Divergenz!
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{n}{n+1})^n^^2
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)} [/mm] |
Hi,
kann mir hier bitte jemand helfen, ich habe keine Ahnung, wie ich an die Augaben rangehen soll!
zu (c): Hier habe ich schon eine Lösung: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a_n-1}{a_n}
[/mm]
1. Fall: für 0<n<1 konvergiert die Reihe, da [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert also auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a_n-1}{a_n}.
[/mm]
2.Fall: für a [mm] \ge [/mm] 1 divergiert die Reihe, denn [mm] \bruch{a_n-1}{a_n} [/mm] ist keine Nullfolge, da für n [mm] \to \infty [/mm] die -1 in [mm] a_n-1 [/mm] vernachlässigt werden kann, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n-1}{a_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{a_n} [/mm] = 1.
Stimmt das so??
Vielen Dank
Gruß Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Smex,
ich habe einen Tipp für die ersten beiden Reihen:
Bei der ersten kannst du ganz gut das Quotientenkriterium verwenden:
Berechne $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{\left[(n+1)!\right]^2}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}$
Das drösel mal auf und kürze so weit wie möglich. Wenn als Grenzwert ein $q$ mit $q \ < \ 1$ herauskommt, ist die Reihe (absolut) konvergent
Bei der zweiten Reihe entnehme ich deinem Quelltext, dass es eher $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ heißen soll.
Falls es so ist, setze mal das Wurzelkriterium darauf an, berechne also $\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}$
Wieder mit derselben Konvergenzaussage wie oben...
zur dritten Reihe sage ich besser nichts, da erschließt sich mir deine erste Umformung schon nicht... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Vllt. kannst du ja eine geschlossene Formel für das Produkt der ersten $n$ geraden/ungeraden Zahlen finden und das verwenden...?
LG und frohes Fest
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 So 23.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Smex!
So ganz erschließt sich mir Deine Umformung ebenfalls nicht. Aber warum versuchst Du es nicht einfach mit dem Quotientenkriterium?
Gruß
Loddar
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Hallo Smex,
noch ne Idee zur 3.Reihe:
Zunächst mal scheint mir was mit dem Laufindex nicht zu stimmen, der sollte bei $n=1$ losgehen.
Ich würde sagen, dass die Reihe divergent ist und versuchen, eine divergente Minorante anzugeben:
Du kannst die Reihe wie folgt schreiben:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot{}3\cdot{}....\cdot{}(2n-1)}{2\cdot{}4\cdot{}....\cdot{}(2n)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\right)=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot{}\prod\limits_{k=2}^{n}\frac{2k-1}{2k}\right) [/mm] \ > \ [mm] \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\prod\limits_{k=2}^{n}\frac{2k-\red{2}}{2k}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\prod\limits_{k=2}^{n}\frac{2(k-1)}{2k}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\underbrace{\prod\limits_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}}_{=\frac{1}{n}}\right)$
[/mm]
Damit hättest du die harmonische Reihe als divergente Minorante.
Aber das ist ohne Gewähr 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Smex |
Zunächst mal vielen Dank für die vielen Hinweise bzw. Tipps bzw. Vorschäge!!
zur 3. Reihe: der Laufindex beginnt tatsächlich bei 1! (Ich hab da nicht so stark drauf geachtet), aber die die Lösung, die du da hingeschrieben hast erscheint mir auch irgendwie plausibler als meine^^.
Ich hatte mir irgendwie gedacht, dass ich das als Quotient von 2 Folgen schreibe und zwar einfach als Folge [mm] a_n [/mm] und dann hätte ich im Zähler halt [mm] a_n-1 [/mm] gehabt, aber ich erkenne jetzt auch den Fehler in meiner Überlegung: die Faktoren vor dem (2n) bzw. dem (2n-1) enthalten ja gar kein (n), sodass sie von der Summenformel völlig unbeeinträchtig bleiben. Naja gut, dass ich meine Lösung doch noch gepostet habe^^(Ich wollte sie erst gar nicht posten, weil ich ja schon eine Lösung hatte^^)
Vielen Dank
Gruß von Smex
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