Konvergenz / Divergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Ricochet |
| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{\vektor{2n \\ n}} [/mm] |
Mir ist nicht klar wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Ich hatte mir jetzt einfach mal gedacht den B.koeffizienten
umzuschreiben also:
[mm] \bruch{1}{\bruch{2n!}{n!(2n-n)!}}
[/mm]
aber das wäre ja dann irgendwie: [mm] \bruch{n!2!}{2n!} [/mm] bzw. 1
das kann ja irgendwie nicht sein.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ricochet!
Deine Idee ist schon ganz gut. Allerdings musst Du entsprechende Klammern setzen:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\vektor{2n \\ n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{\red{(}2n\red{)}!}{n!*(2n-n)!}}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{\red{(}2n\red{)}!}{n!*n!}}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{\red{(}2n\red{)}!}{\red{(}n!\red{)^2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n!)^2}{(2n)!}$
[/mm]
Für den Nachweis der Reihenkonvergenz bietet sich hier das Quotientenkriterium an ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Ricochet |
Hallo Loddar,
Erstmal vielen herzlichen Dank für deine super schnelle Antwort!
Ich habe allerdings noch eine Frage.
Ich wende jetzt das Quotientenkriterium an:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \bruch{((n+1)!)²}{(2n+1)!}*\bruch{(2n)!}{(n!)²}
[/mm]
Das kann ich ja eigentlich schreiben als:
[mm] \bruch{(n+1)²}{(2n+1)!} *\bruch{(2n)!}{1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(n+1)²}{2n+1}*\bruch{1}{1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n²+2n+1}{2n+1} \gdw [/mm] n²
Das kann ja jetzt nicht stimmen, oder bin ich blöd?
Divergent kann das Ding doch nicht sein?!
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ricochet!
Du hast schon wieder Klammern unterschlagen.
Der eine Term muss lauten, wenn Du $n+1_$ einsetzt:
[mm] $[2*\red{(}n+1\red{)}]! [/mm] \ = \ (2n+2)! \ = \ (2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
Damit sollte dann doch ein "vernünftiger Grenzwert" entstehen, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Ricochet |
Alles klar jetzt hauts hin.
Da mit den Klammern übe
ich wohl nochmal..;)
Danke nochmal
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