Konvergenz/Divergenz v. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Di 08.12.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{3k}}{x^{4k}+ln(1+k)}
[/mm]
Für welche x konvergent, für welche divergent?
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Hallo,
Mit Quotientenkriterium:
[mm] a=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^{3k}}{x^{4k}+ln(1+k)}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{|x|}\bruch{1+\bruch{ln(1+k)}{x^{4k}}}{1+\bruch{ln(2+k)}{x^{4k+4}}}
[/mm]
Für x=0:
a=0<1 -> konvergente Reihe
Für |x|<1:
[mm] a=\infty/|x|=\infty [/mm] -> divergente Reihe
Für |x|=1:
a=1/|1|=1 -> keine Aussage
Für |x|>1:
a=1/|x|<1 -> konvergente Reihe
Fehlt noch |x|=1:
[mm] \bruch{1}{1+ln(1+k)}\ge 1/(2+k)\ge{1/3k} [/mm] -> Min-Krit.: divergente Reihe
Ist das so ok? Wie kann ich meine Grenzwerte genauer begründen? Habe sie jetzt aus "Logik" geschlossen, aber kann ich den Term mit ln so umformen, dass sie direkt ersichtlich werden?
Danke!
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Hallo Oli,
> Mit Quotientenkriterium:
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> [mm]\red{a=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^{3k}}{x^{4k}+ln(1+k)}|}[/mm]
Was tut das hier? Das ist doch das k-te Glied der Folge.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{|x|}\bruch{1+\bruch{ln(1+k)}{x^{4k}}}{1+\bruch{ln(2+k)}{x^{4k+4}}}[/mm]
Hier hast Du offenbar doch den Quotienten gebildet. Ich verstehe aber die Umformung nicht. Ach, ja doch. Pardon.
Bei mir kam [mm] \left|\bruch{1+\bruch{\ln{(k+1)}}{x^{4k}}}{x+\bruch{\ln{(k+2)}}{x^{4k+3}}}\right| [/mm] heraus, was ja das Gleiche ist.
Das strebt aber für [mm] |x|\le{1} [/mm] gegen [mm] |x|^3, [/mm] für |x|>1 aber gegen [mm] \bruch{1}{|x|}<1. [/mm] Den Sonderfall x=0 kann man direkt an der Reihe selbst erledigen: konvergent, Summe=0.
Die Reihe ist also nur für x=1 divergent.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 08.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Huch, das erste war natürlich falsch Copy-and-Pasted ;)
Kann man den Term nun noch irgendwie umformen, dass das Verhalten für |x|<1 offensichtlicher wird? Dass da 1+unendlich durch 1+unendlich steht ist ja klar, aber das reicht ja als Argument noch nicht aus - schließlich ist das "Maß der Unendlichkeit" nicht offensichtlich.
Danke!
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Hallo Oli,
> Huch, das erste war natürlich falsch Copy-and-Pasted ;)
Shit happens.
> Kann man den Term nun noch irgendwie umformen, dass das
> Verhalten für |x|<1 offensichtlicher wird? Dass da
> 1+unendlich durch 1+unendlich steht ist ja klar, aber das
> reicht ja als Argument noch nicht aus - schließlich ist
> das "Maß der Unendlichkeit" nicht offensichtlich.
Da hast Du Recht.
[mm] \left|\bruch{1+\bruch{\ln{(k+1)}}{x^{4k}}}{x+\bruch{\ln{(k+2)}}{x^{4k+3}}}\right|=\left|\bruch{x^{4k+3}+x^3\ln{(k+1)}}{x^{4k+4}+\ln{(k+2)}}\right|
[/mm]
Jetzt besser? Für x<1 verschwinden die linken Terme in Zähler und Nenner bzw. werden gegen den Rest bedeutungslos. [mm] \bruch{\ln{k+1}}{\ln{k+2}} [/mm] geht gegen 1, einzig fest bleibt also [mm] x^3.
[/mm]
Zum Grenzwert [mm] \bruch{\ln{(k+1)}}{\ln{(k+2)}} [/mm] mehr hier (im Prinzip jedenfalls  ).
lg
reverend
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Di 08.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Super, besten Dank!
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