Konvergenz Fourierreihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Reihe [mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] konvergiert. |
Ich habe mir gedacht, dass Bessel's Ungleichung [mm] $\sum_{k\ge 1}|c_k|^2\le\int_0^1|f(x)|dx$, [/mm] wobei [mm] $c_k$ [/mm] die Fourierkoeffizienten sind, eine Hilfe sein könnte. Nur kann ich das Integral nicht weiter abschätzen, weil ich ja $f(x)$ nicht kenne. Wie könnte das funktionieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die Reihe [mm]$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2}[/mm]
> konvergiert.
> Ich habe mir gedacht, dass Bessel's Ungleichung [mm]\sum_{k\ge 1}|c_k|^2\le\int_0^1|f(x)|dx[/mm],
> wobei [mm]c_k[/mm] die Fourierkoeffizienten sind, eine Hilfe sein
> könnte. Nur kann ich das Integral nicht weiter
> abschätzen, weil ich ja [mm]f(x)[/mm] nicht kenne. Wie könnte das
> funktionieren?
So (aber ohne ein f):
Setze [mm] f_j(x):=\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] für j [mm] \in \IN_0 [/mm] und x [mm] \in \IR
[/mm]
Mach Dir klar:
[mm] |f_j(x)|=\frac{1}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] für j [mm] \in \IN_0 [/mm] und x [mm] \in \IR.
[/mm]
Die Reihe [mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $ ist konvergent. Damit konvergiert die Reihe
[mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $
sogar absolut und gleichmäßig auf [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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Danke. Bleibt das gleiche Argument aufrecht, wenn ich die Summe für [mm] $j\in\IZ$ [/mm] zulasse?
Im Zusatz der Aufgabe steht dann: Finde [mm] $\sum_{j\in\IZ}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $. Wie könnte man da vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 24.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 24.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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